Differentialgleichung

29.06.2018, 11:44

Marcus9

Differentialgleichung

Meine Frage:
Hallo,

ich soll die Aufgabe $\begin{eqnarray*} y'=(y-1)*cos(4x+2) \end{eqnarray*}$ lösen mit AWA $\begin{eqnarray*} y(-0,5)=0 \end{eqnarray*}$ .

Also die Lösung dazu habe ich auch:

$\begin{eqnarray*} y=1-e^{\frac{1}{4}sin(4x+2)} \end{eqnarray*}$

allerdings komme ich nicht exakt auf die Lösung deshalb die Frage was ist noch nicht ganz korrekt?:

Meine Ideen:
Dgl mit getrennten Variablen

-> $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{s-1} \, ds =\int_{-0,5}^{x} \! cos(4t+2) \, dt \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} ln(|y-1|)=\frac{1}{4}sin(4x+2) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} |y-1|=e^{\frac{1}{4}sin(4x+2) } \end{eqnarray*}$

und nun:

für y>=0 gilt:

$\begin{eqnarray*} y=e^{\frac{1}{4}sin(4x+2) } +1 \end{eqnarray*}$

für y<0 gilt: $\begin{eqnarray*} y=1-e^{\frac{1}{4}sin(4x+2) } \end{eqnarray*}$

also was ist falsch ?

29.06.2018, 14:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marcus9 (korrigiert)
für y>=1 gilt:

$\begin{eqnarray*} y=e^{\frac{1}{4}sin(4x+2) } +1 \end{eqnarray*}$

für y<1 gilt: $\begin{eqnarray*} y=1-e^{\frac{1}{4}sin(4x+2) } \end{eqnarray*}$

Soweit alles richtig. Nun denk aber auch an deinen Anfangswert: Ist der größer oder kleiner als 1? Dementsprechend ist der passende Zweig zu wählen.

29.06.2018, 14:47

Marcus9

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Mein Anfangswert ist 0 also kleiner als 1.
Achso okay vielen dank Freude

29.06.2018, 14:58

Marcus9

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Eine Frage hätte ich noch zu einer Aufgabe:

Wir haben die DGL

$\begin{eqnarray*} y'-y^{\frac{2}{7}} =0 \end{eqnarray*}$ . Die Aufgabe lautet bestimmen Sie alle Lösungen mit AWA y(0)=1.

Meine Lösung:

Bernouli anwenden ergibt:

$\begin{eqnarray*} g(x)=G(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{2}{7} \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} z=\frac{5}{7}*x+c \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} y=(\frac{5}{7}*x+c)^{\frac{7}{5}} \end{eqnarray*}$

mit AWA -> $\begin{eqnarray*} y=(\frac{5}{7}*x+1)^{\frac{7}{5}} \end{eqnarray*}$

Die Lösung zu dieser Aufgabe lautet Allerdings...(siehe Bild).

Ich kann das nicht nachvollziehen die Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{()^7} <br /> \end{eqnarray*}$ ist doch für alle zahlen definiert ?

29.06.2018, 15:24

HAL 9000

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Für die dritte Lösung unten fasst man offenbar $\begin{eqnarray*} y^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{y^2} \end{eqnarray*}$ auf, d.h., für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ definiert.

Ich hätte allerdings im dritten Zweig der dritten Lösung besser $\begin{eqnarray*} -\left(-\frac{5}{7}x-C\right)^{\frac{7}{5}} \end{eqnarray*}$ geschrieben, um derlei Ärger von vornherein aus dem Weg zu gehen. Augenzwinkern

Die erste Lösung kann man sich ganz sparen, die ist Spezialfall $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ der dritten Lösung.

Was genau ist denn jetzt unklar? Dass es überhaupt die Lösungen zwei und drei gibt? Dann überdenk mal genau deinen Lösungsweg: Der beinhaltet nämlich bestimmt an irgendeiner Stelle die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ für irgendwelche Umformungen - und genau das ist der Knackpunkt: Irgendwelche Lösungen der DGL lassen sich nur dann eindeutig fortsetzen, solange $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Erreicht aber eine Lösungstrajektorie für irgendein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} y(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ , dann kann sie im weiteren eine Weile (oder gar nicht) Null bleiben, um irgendwann den Nullwert verlassen - in welche Richtung, das ist wegen $\begin{eqnarray*} y' = \sqrt[7]{y^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$ klar.

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