Wahrscheinlichkeiten einer gleichverteilten Zufallsvariable

29.06.2018, 12:35

cosenk

Wahrscheinlichkeiten einer gleichverteilten Zufallsvariable

Meine Frage:
Eine Verpackungsmaschine ist so eingestellt, dass das Gewicht von einer Packung Kaffee einer gleichverteilten Zufallsvariable im Intervall [471; 520]g entspricht.

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass eine zufällig gewählte Packung Kaffee weniger als 482 g wiegt.

Meine Ideen:
Ich habe mit X = 482 zunächst den zu transformierenden Z-Wert berechnet:

$\begin{eqnarray*} Z = \frac{482 - 471}{\sqrt{520} } = 0,48 \end{eqnarray*}$

In der Tabelle finde ich dazu den Wert 0,68439.

Ergebnis soll jedoch 0,2245 sein.

Wo ist mein Fehler?

Danke! smile

29.06.2018, 12:39

cosenk

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RE: Wahrscheinlichkeiten einer gleichverteilten Zufallsvariable
Hab meinen Fehler, der Ansatz ist wohl falsch.

Ich muss 11/49 berechnen.

29.06.2018, 14:07

HAL 9000

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So ist es: Nicht alles ist normalverteilt - vor allem dann nicht, wenn explizit was anderes vorgegeben ist. smile

29.06.2018, 14:16

Leopold

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Doch! Alles ist normalverteilt. Alle Kurven sind geschlossen. Alle Dreiecke rechtwinklig. Alle Menschen Brüder. Und f'(x) ist immer Null.

[Ende Sarkasmus/Zynismus]

29.06.2018, 20:02

cosenk

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In dem Zusammenhang eine ähnliche Frage:

Deutschen Wetterdienst ist bekannt, dass die jährliche Niederschlagsmenge in Deutschland einer Normalverteilung folgt. Die erwartete Niederschlagsmenge beträgt 790 (l/m2) und die entsprechende Standardabweichung beträgt 30 l/m2).

Welcher Mindestniederschlag wird in 90% der Jahre eingehalten?

Was wäre hier mein Ansatz?

Hätte die normale Gleichung für Normalverteilung aufgestellt mit unbekanntem X und gleich 1,29 gesetzt, weil dafür 0,9 in der Tabelle gefunden wird.

29.06.2018, 20:18

HAL 9000

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"normale Gleichung für Normalverteilung" sagt mir überhaupt nichts. Stell die Gleichung auf, dann können wir auch drüber reden.

29.06.2018, 22:23

cosenk

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$\begin{eqnarray*} Z = 1 - (\frac{X - 790}{30}) <br /> <br /> 1 - (\frac{X - 790}{30}) = 1,29 \end{eqnarray*}$

- 1,29 weil sich dafür in der Tabelle eine Wahrscheinlichkeit von 0,9 ergibt. 1 - (...), weil nach dem Mindestniederschlag gefragt ist. Aber das passt nicht ganz..

29.06.2018, 22:42

HAL 9000

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Wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die normalverteilte Niederschlagsmenge ist, dann ist das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(N\geq x) = 0.9 \end{eqnarray*}$ gesucht. Nun ist $\begin{eqnarray*} P(N\geq x) = 1-P(N\leq x) = 1-\Phi\left( \frac{x-790}{30} \right) = \Phi\left( -\frac{x-790}{30} \right) \end{eqnarray*}$ .

Damit kann gleichgesetzt werden $\begin{eqnarray*} -\frac{x-790}{30} = z_{0.9} = 1.28 \end{eqnarray*}$ .

Die zusätzlich "1" bei dir ganz vorn ist Unsinn.

29.06.2018, 22:59

cosenk

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Wäre denn 1,29 falsch? Dachte man schaut, ab wann explizit ohne Rundung 0,90 erreicht wird.

30.06.2018, 08:41

cosenk

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Und wenn gilt, dass
1 - z(...) = (-z)

Wieso kommt nicht das Gleiche raus wie bei (-z) = 1,29, wenn man 1 - z(..) = 1,29 setzt?

30.06.2018, 11:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von cosenk
Und wenn gilt, dass
1 - z(...) = (-z)

Es gilt die Symmetrie $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) = 1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung.

Das bedeutet auf die zugehörige Quantilfunktion $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} = \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ übertragen, dass für alle $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} z_{1-\alpha} = -z_{\alpha} \end{eqnarray*}$ gilt.

So wird ein Schuh draus! Dieses 1-z(...) = -z oder ähnliches Zeugs oben ist einfach nur fürchterlicher Pfusch. unglücklich

30.06.2018, 12:18

cosenk

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Ok, komme auf eine Niederschlagsmenge von 751,6. Sollte passen.

Noch eine Aufgabe in diesem Zusammenhang (habe leider keine Lösungen):

n = 55, Mittelwert = 13,45 und Standardabweichung = 1,25

Man soll das Intervall mit einem Konfidenzintervall von 90% angeben

$\begin{eqnarray*} K.I.= 13,45 - z_{1-0,05}\cdot \frac{1,25}{\sqrt{55} } <br /> <br /> 13,45 - 1,28\cdot \frac{1,25}{\sqrt{55} } \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} [13,23; 13,66] \end{eqnarray*}$

Aber laut Rechner stimmt das nicht.

30.06.2018, 12:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von cosenk
Man soll das Intervall mit einem Konfidenzintervall von 90% angeben

Konfidenzintervall wofür ?

Sollte es das für den Erwartungswert der Grundgesamtheit sein, dann ist das einigermaßen richtig. Leider hast du das Quantil falsch bestimmt: Es geht hier um $\begin{eqnarray*} z_{0.95}\approx 1.645 \end{eqnarray*}$ statt um $\begin{eqnarray*} z_{0.9}\approx 1.282 \end{eqnarray*}$ .

30.06.2018, 13:21

cosenk

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Das ist die genaue Aufgabe

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