Explizite Integralformel für E[(X+1)^3] für stetige Dichte

29.06.2018, 13:23

arakenek

Explizite Integralformel für E[(X+1)^3] für stetige Dichte

Moin,

beim Lernen für meine kommende Stochastikklausur bin ich auf folgendes Problem gestoßen.

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f(x) und gesucht ist eine explizite Integralformel für E[(X+1)^3].

Mein Versuch: E[(X+1)^3] = $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! (x+1)^{3} f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , was zu einer partiellen Integration führt, die ich nicht ganz durchführen kann.

Meine Frage: Muss man hierbei eine bestimmte Eigenschaft des EWs ausnutzen, die ich nicht berücksichtigt habe?

Vielen Dank im Voraus!

29.06.2018, 14:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von arakenek
Mein Versuch: $\begin{eqnarray*} E[(X+1)^3] = \int_{-\infty}^{\infty} \! (x+1)^{3} f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das ist vom Ansatz her richtig. Zu deinen Problemen mit der konkreten Rechnung kann ich nichts sagen oder empfehlen, solange du das konkrete $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht nennst - einen allgemeinen "Trick" gibt es jedenfalls nicht.

29.06.2018, 14:12

Leopold

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Gibt es über die Dichte $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ keine zusätzlichen Angaben? Ansonsten würde mir nur eine unbestimmte Integration einfallen, bei der man mehrmals nacheinander partiell integriert:

$\begin{align*} \int (x+1)^3 f(x) ~ \dd x \ = \ (x+1)^3 F_1(x) - 3 (x+1)^2 F_2(x) + 6(x+1) F_3(x) - 6 F_4(x) \end{align*}$

worin $\begin{align*} F_0 = f \end{align*}$ und $\begin{align*} F_{k+1} \end{align*}$ für $\begin{align*} 0 \leq k \leq 3 \end{align*}$ eine Stammfunktion von $\begin{align*} F_k \end{align*}$ ist. Ob das bestimmte Integral von $\begin{align*} - \infty \end{align*}$ bis $\begin{align*} \infty \end{align*}$ konvergiert, hängt von den Eigenschaften von $\begin{align*} f \end{align*}$ und den weiteren Stammfunktionen ab.

29.06.2018, 15:16

arakenek

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Vielen Dank für die Antworten.

Nein, das war bereits die ganze Angabe der Aufgabe, deswegen hätte ich es auch wie Leopold versucht, allerdings hatte ich dann Probleme höhere Stammfunktionen anzuschreiben und dachte es sei falsch.

Damit sollte das Problem gelöst sein!

29.06.2018, 15:18

Leopold

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"Komische" Aufgabe. verwirrt

Irgendwie glaube ich da nicht so recht daran.

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