Integration durch substitution

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Assznee Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch substitution
Meine Frage:
Hallo,
In der Schule hab ich Integration durch substitution so gelernt, dass man eine verkettete Funktion die quasi mit der inneren Ableitung multipliziert wird, mittels Integration durch substitution integrieren kann.
Jetzt im Studium haben wir es aber so gemacht, dass wir arcsin(x) integriert haben, indem wir eindach x als sin(u) substituirt haben und dx= cosinus * du.
Wie es danach weitergeht hab ich auch verstanden aber ich verstehe nicht wieso man x einfach durch sinus u ersetzten darf.
Ich dachte immer man darf bei der Substitution quasi nur die "innere Funktion" substituieren und auch Im Internet finde ich nur Erklärungen, die darauf basieren, dass in der Funktion die innere Ableitung vorkommt.
Wieso darf ich dann bei arcsin einfach x durch sin(U) ersetzten?



Meine Ideen:
VIELEN Dank
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man darf eine Variable durch jede umkehrbare differenzierbare Funktion substituieren. Berechnen wir .
Um einmal eine entlegene Substitution zu nehmen, setzen wir mit . Wir erhalten:



Nun, zugegebenermaßen eine unorthodoxe Methode, das Integral auszurechnen ...

Umgekehrt darf man jede differenzierbare Funktion, auch wenn sie nicht umkehrbar ist, durch eine Variable substituieren, sofern die ursprüngliche Variable aus der Rechnung herausfällt:

Im folgenden Integral substituieren wir mit :



Natürlich besteht das Hauptinteresse darin, eine geschickte Substitution zu finden, also eine, die einem das neue Integral einfacher berechenbar macht.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Frage, warum man das machen darf: Das ist einfach die Substitutionsregel rückwärts gelesen.

Wenn du einmal von rechts nach links liest, ist das die Substitutionsmethode, die du kennst. Wenn die beiden Integrale aber gleich sind, dann darf man natürlich auch die linke Seite durch die Rechte ersetzen.

Zitat:
Man darf eine Variable x durch jede umkehrbare differenzierbare Funktion substituieren.


Die Funktion muss dafür nicht einmal umkehrbar sein. Will man das Integral mit einer Substitution berechnen, reicht es, dass im Bild von liegen. Zugegebenermaßen ist dann automatisch surjektiv auf , aber Injektivität muss nicht vorliegen. Es ist für alle , die erfüllen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Die Funktion muss dafür nicht einmal umkehrbar sein...
Zugegebenermaßen ist dann automatisch surjektiv auf , aber Injektivität muss nicht vorliegen.


Du hast recht, solange es um bestimmte Integrale geht. Und das war hier der Fall. Bei unbestimmten Integralen will man aber in aller Regel am Ende wieder zur ursprünglichen Variablen zurückkehren. Und um das sinnvoll ausführen zu können, benötigt man die Umkehrbarkeit.
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