Umlaufzahl bestimmen

30.06.2018, 15:13

forbin

Umlaufzahl bestimmen

Hallo Leute,

ich soll Folgendes zeigen:
[attach]47596[/attach]

Mein Ansatz:
Es ist $\begin{eqnarray*} n(\Gamma, z) := \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma}\frac{d\xi}{\xi-z} \end{eqnarray*}$ .

Betrachte ich nun den Fall $\begin{eqnarray*} z_{i}\in Q \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} n(\Gamma, z) := \frac{1}{2\pi i}\Big(\int\limits_{\vec{z_{1}z_{2}}}\frac{d\xi}{\xi-z_{i}} + \int\limits_{\vec{z_{2}z_{3}}}\frac{d\xi}{\xi-z_{i}}+\int\limits_{\vec{z_{3}z_{4}}}\frac{d\xi}{\xi-z_{i}}+\int\limits_{\vec{z_{4}z_{1}}}\frac{d\xi}{\xi-z_{i}}\Big) \end{eqnarray*}$ .

Nun parametrisiere ich:
$\begin{eqnarray*} \gamma_{1} : \left[0,1\right], t\mapsto t\cdot z_{2}+(1-t)\cdot z_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma'(t) = z_{2}-z_{1} \end{eqnarray*}$

Betrachte ich nun das erste Intregral:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\vec{z_{1}z_{2}}}\frac{d\xi}{\xi-z_{i}} = \int\limits_{0}^{1}\frac{z_{2}-z_{1}}{t\cdot z_{2}+(1-t)\cdot z_{1}-z_{i}}dt \end{eqnarray*}$

Aber ab hier komme ich nicht weiter.
Ich weiß ja, dass z1 und z2 auf einer Strecke liegen, ihr Imaginärteil ist der gleiche. Aber auch mit dieser Umformung bekomme ich den nächsten Schritt leider nicht hin unglücklich

Gebt ihr mir einen Tipp?

30.06.2018, 16:56

Leopold

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Bei dieser Aufgabe kann man nur schwer helfen, da nicht klar ist, welche Voraussetzungen aus der Vorlesung mitgebracht werden. Du berechnest die falschen Integrale. Im Nenner des Integranden ist $\begin{align*} z \end{align*}$ zu subtrahieren, nicht $\begin{align*} z_i \end{align*}$ . Die Ecken des Rechtecks seien gegen den Uhrzeigersinn durchnummeriert, links unten liege $\begin{align*} z_1 \end{align*}$ . Dann ist Folgendes zu berechnen:

$\begin{align*} n(\Gamma,z) = \int_{z_1}^{z_2} \frac{\dd \zeta}{\zeta - z} \ + \ \int_{z_2}^{z_3} \frac{\dd \zeta}{\zeta - z} \ + \ \int_{z_3}^{z_4} \frac{\dd \zeta}{\zeta - z} \ + \ \int_{z_4}^{z_1} \frac{\dd \zeta}{\zeta - z} \end{align*}$

[attach]47597[/attach]

Die Integrationswege sind jeweils die Strecken: von $\begin{align*} z_1 \end{align*}$ nach $\begin{align*} z_2 \end{align*}$ ... und entsprechend bei den andern drei Integralen. Zuerst der Fall, daß $\begin{align*} z \end{align*}$ im Innern des Rechtecks liegt.
Ich wähle einmal zur Berechnung den Weg über den komplexen Logarithmus. Über dem ersten Integrationsweg können wir eine Stammfunktion von $\begin{align*} \frac{1}{\zeta - z} \end{align*}$ angeben, nämlich

$\begin{align*} F(\zeta) = \log(\zeta - z) \end{align*}$

wobei der Zweig des Logarithmus noch passend festgelegt werden muß. Die Subtraktion von $\begin{align*} z \end{align*}$ wirkt so, als wäre $\begin{align*} z \end{align*}$ der Ursprung, daher variieren die Argumente von $\begin{align*} \zeta - z \end{align*}$ für $\begin{align*} \zeta \end{align*}$ , die auf der Strecke von $\begin{align*} z_1 \end{align*}$ nach $\begin{align*} z_2 \end{align*}$ liegen, irgendwo zwischen $\begin{align*} - \pi \end{align*}$ und $\begin{align*} 0 \end{align*}$ . Und so können wir den Zweig des Logarithmus wählen ( $\begin{align*} \ln \end{align*}$ = reeller natürlicher Logarithmus):

$\begin{align*} F(\zeta) = \log(\zeta - z) = \ln \left| \zeta - z \right| + \operatorname{i} \arg(\zeta - z) \ \ \text{mit} \ \ \arg(\zeta - z) \in \left( -\pi , 0 \right) \end{align*}$

Und jetzt können wir das erste Integral berechnen:

$\begin{align*} \int_{z_1}^{z_2} \frac{\dd \zeta}{\zeta - z} \ = \ F(z_2) - F(z_1) \ = \ \ln \left| z_2 - z \right| + \operatorname{i} \arg(z_2 - z) - \left( \ln \left| z_1 - z \right| + \operatorname{i} \arg(z_1 - z) \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = \ \ln \left| z_2 - z \right| - \ln \left| z_1 - z \right| + \operatorname{i} \left( \arg(z_2 - z) - \arg(z_1 - z) \right) \end{align*}$

Beide Argumente in der letzten Klammer sind negativ. Sie entsprechen den beiden negativ orientierten Winkeln der Zeichnung, die mit einem Pfeil versehen sind. Ihre Differenz ergibt den positiv gemessenen Winkel $\begin{align*} \varphi_{12} \end{align*}$ (grün) bei $\begin{align*} z \end{align*}$ im Dreieck mit den Ecken $\begin{align*} z_1,z_2,z \end{align*}$ :

$\begin{align*} \int_{z_1}^{z_2} \frac{\dd \zeta}{\zeta - z} \ = \ \ln \left| z_2 - z \right| - \ln \left| z_1 - z \right| + \operatorname{i} \varphi_{12} \end{align*}$

Beim zweiten Integral gehen wir genau so vor, wir wählen $\begin{align*} \arg(\zeta - z) \in \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$ , beim dritten Integral $\begin{align*} \arg(\zeta - z) \in \left( 0 , \pi \right) \end{align*}$ und beim vierten $\begin{align*} \arg(\zeta - z) \in \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3 \pi}{2} \right) \end{align*}$ . Dann ergibt die Differenz der Argumente positive Winkelgrößen $\begin{align*} \varphi_{23}, \varphi_{34}, \varphi_{41} \end{align*}$ , die den Winkeln bei $\begin{align*} z \end{align*}$ in den jeweiligen Dreiecken entsprechen. Und so folgt:

$\begin{align*} n(\Gamma,z) = \ln \left| z_2 - z \right| - \ln \left| z_1 - z \right| + \operatorname{i} \varphi_{12} + \ln \left| z_3 - z \right| - \ln \left| z_2 - z \right| + \operatorname{i} \varphi_{23} + \ln \left| z_4 - z \right| - \ln \left| z_3 - z \right| + \operatorname{i} \varphi_{34} + \ln \left| z_1 - z \right| - \ln \left| z_4 - z \right| + \operatorname{i} \varphi_{41} \end{align*}$

$\begin{align*} = \operatorname{i} \left( \varphi_{12} + \varphi_{23} + \varphi_{34} + \varphi_{41} \right) = \operatorname{i} \cdot 2 \pi \end{align*}$

Wenn du diesen Weg mit dem komplexen Logarithmus verstanden hast, kannst du ja einmal selber den Fall behandeln, daß $\begin{align*} z \end{align*}$ im Äußern des Rechtecks liegt, zum Beispiel oberhalb von ihm.

30.06.2018, 17:05

forbin

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Hallo Leopold,

jetzt hast du dir die Mühe gemacht und ich muss dir sagen, dass der komplexe Logarithmus noch nicht bekannt ist.
Das tut mir sehr leid, mir war nicht klar, dass die Aufgabe so weit geht / gehen kann.

Welche Vorraussetzungen wären denn notwendig zu wissen?
Wahrscheinlich so pauschal „zu viele“, oder?

01.07.2018, 07:43

Leopold

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Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht. Sollst du wirklich mit elementaren Methoden die Umlaufzahl berechnen? Schließlich hatten wir doch schon längst den Cauchyschen Integralsatz, womit diese Aufgabe ja ein Klacks wäre. Aber dann verstehe ich nicht, warum in der Aufgabe nur von einem achsenparallelen Rechteck die Rede ist, wo die Aufgabe doch kein bißchen schwieriger wäre, wenn stattdessen eine beliebige "vernünftige" geschlossene Kurve gegeben wäre.
Irgendwie komisch ...

01.07.2018, 13:32

forbin

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Zitat:

Original von Leopold
Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht. Sollst du wirklich mit elementaren Methoden die Umlaufzahl berechnen? Schließlich hatten wir doch schon längst den Cauchyschen Integralsatz, womit diese Aufgabe ja ein Klacks wäre. Aber dann verstehe ich nicht, warum in der Aufgabe nur von einem achsenparallelen Rechteck die Rede ist, wo die Aufgabe doch kein bißchen schwieriger wäre, wenn stattdessen eine beliebige "vernünftige" geschlossene Kurve gegeben wäre.
Irgendwie komisch ...

Ja, das wunderte mich nämlich auch.
Wir haben allerdings erst jetzt die Umlaufzahl definiert und daher ging ich davon aus, dass die Definition an sich zu verwenden ist...
Aber das kann ich morgen nochmal nachfragen.
ich würde mich aber später auch an eine Lösung mit dem Cauchyschen Integralsatz setzen und mir vor allem auch deine bisher vorgeschlagenen Lösung anschauen wollen smile

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