IP-fast sichere Konvergenz

02.07.2018, 21:09

Bub

IP-fast sichere Konvergenz

Meine Frage:
Hallo und guten Abend liebes Forum,

bezüglich einer Hausaufgabe beschäftigt mich folgendes Problem. Es seien

$\begin{eqnarray*} X_1,\dots,X_N \end{eqnarray*}$

unabhängig, identisch verteilte ZV mit Verteilungsfunktion F(x).

Ich will zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty} \frac{M_N}{\sqrt{2\ln(N)}}=1 \end{eqnarray*}$

gilt, wobei M_N das Maximum der ZV ist.

Meine Ideen:
Zunächst wollte ich

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}\Big[\limsup_{N\to \infty} \frac{M_N}{\sqrt{2 \ln(N)}}\le 1 \Big]=1 ~~ und ~~ \mathbb{P}\Big[\liminf_{N\to \infty} \frac{M_N}{\sqrt{2 \ln(N)}}\ge 1 \Big]=1 \end{eqnarray*}$

zeigen. Das versuche ich mit Borel-Cantelli. Für die erste Gleichung zeige ich

$\begin{eqnarray*} \sum_{N=1}^\infty \mathbb{P}\big[ M_N > \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)} \big]< \infty \end{eqnarray*}$

und für die zweite

$\begin{eqnarray*} \sum_{N=1}^\infty \mathbb{P}\big[ {M_N}\le {\sqrt{(1 -\epsilon)\cdot 2 \ln(N)}} \big]<\infty \end{eqnarray*}$ .

bei der ersten stehe ich vor einem Problem. Ich komme bis

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{N=1}^\infty \mathbb{P}\big[ M_N > \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)} \big] \le\sum_{N=1}^\infty 1- \Big( 1- \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)}} e^{-\frac{\sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)}^2}{2}} \Big)^N \le \sum_{N=1}^\infty 1- \Big( 1- \frac{1}{\sqrt{ \ln(N)}N^{1+\epsilon}} \Big)^N<br /> \end{eqnarray*}$

und dann schaff ich es nicht die richtige Abschätzung zu finden. Ist der Ansatz überhaupt ok?

02.07.2018, 21:22

Bub

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Die ZV sind dabei Standardnormalverteilt.

03.07.2018, 09:31

HAL 9000

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Wenn ich das richtig sehe, dann divergiert die Reihe rechts in der untersten Zeile, zumindest für die kleinen $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ , für die du eigentlich auf Konvergenz gehofft hast.

Was du aber zeigen kannst ist $\begin{eqnarray*} \sum_{N=1}^\infty \mathbb{P}\left[ {\color{red}X_N} > \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2\ln(N)} \right] < \infty \end{eqnarray*}$ ,

und das dürfte auch für den ersten Teil deines Beweises reichen.

D.h., du solltest grundsätzlich nochmal über den Start nachdenken, wie also Ereignisse hinsichtlich $\begin{eqnarray*} \frac{M_N}{\sqrt{2\ln(N)}} \end{eqnarray*}$ in solche bzgl. $\begin{eqnarray*} \frac{X_N}{\sqrt{2\ln(N)}} \end{eqnarray*}$ zu übersetzen sind, denn für letztere ist dann hier Borel-Cantelli wirksam anwendbar, nicht für erstere.

03.07.2018, 11:36

Bub

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Ich versteh nicht ganz was du mit "zu übersetzen meinst". Kann ich also einfach so sagen: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum M_N einen Wert W nicht übersteigt ist größer oder gleich der Wahrscheinlichkeit, dass X_N diesem Wert W nicht übersteigt? Da M_N >= X_N für alle N.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}\big[ M_N > \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)} \big] = 1- \mathbb{P}\big[ M_N \le \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)} \big] \le 1- \mathbb{P}\big[ X_N \le \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)} \big]= \mathbb{P}\big[ X_N > \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2 \ln(N)} \big] \end{eqnarray*}$ .

Denke, dass das falsch ist.

Kann ich vielleicht etwas mit der Sigma-additivität erreichen?

03.07.2018, 12:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Was du aber zeigen kannst ist $\begin{eqnarray*} \sum_{N=1}^\infty \mathbb{P}\left[ {\color{red}X_N} > \sqrt{(1+\epsilon)\cdot 2\ln(N)} \right] < \infty \end{eqnarray*}$

Nach Borel-Cantelli bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} \frac{X_N}{\sqrt{2\ln(N)}} > \sqrt{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft eintritt. In P-fast allen Fällen gibt es also ein $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{X_N}{\sqrt{2\ln(N)}} \leq \sqrt{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N\geq N_0 \end{eqnarray*}$ .

Zudem findet man sicher ein $\begin{eqnarray*} N_1\geq N_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{M_{N_0}}{\sqrt{2\ln(N_1)}} \leq \sqrt{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$ .

Beides miteinander kombiniert bedeutet

$\begin{eqnarray*} \frac{M_N}{\sqrt{2\ln(N)}} = \frac{\max(M_{N_0},X_{N_0+1},\ldots,X_N)}{\sqrt{2\ln(N)}} \leq \sqrt{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N\geq N_1 \end{eqnarray*}$ ,

und damit $\begin{eqnarray*} \limsup_{N\to \infty} \frac{M_N}{\sqrt{2\ln(N)}}\leq \sqrt{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$ .

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Der zweite Teil ist sogar noch einfacher: Da zeigt man zunächst

$\begin{eqnarray*} \sum_{N=1}^\infty \mathbb{P}\left[ X_N \geq \sqrt{2\ln(N)} \right] = \infty \end{eqnarray*}$ .

Wegen der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_N \end{eqnarray*}$ bedeutet das tatsächlich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{X_N}{\sqrt{2\ln(N)}} \geq 1 \end{eqnarray*}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft eintritt, das bedeutet wegen $\begin{eqnarray*} M_N\geq X_N \end{eqnarray*}$ direkt

$\begin{eqnarray*} P\left( \limsup_{n\to\infty} \frac{M_N}{\sqrt{2\ln(N)}} \geq 1 \right) = 1 \end{eqnarray*}$ .

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