Ordnung einer Nullstelle

04.07.2018, 00:06	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung einer Nullstelle Hi Leute, ich verstehe folgende Aussage nicht: [attach]47618[/attach] Meine Frage ist was es bedeutet, dass die Funktion bei $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ mindestens von Ordnung zwei verschwindet. Als Beispiel kommt dann $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+i}}{1+x^{2}} \end{eqnarray}$ . Nun, der Grad des Nenners ist zwar zwei und die Funktion geht natürlich gegen null für $\begin{eqnarray} x\rightarrow\pm\infty \end{eqnarray}$ . Aber ist damit denn nur der Nennergrad gemeint?
04.07.2018, 06:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine reelle rationale Funktion in der Darstellung $\begin{align} R(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \end{align}$ mit Polynomen $\begin{align} p,q \end{align}$ hast, dann heißt dies, daß der Nennergrad um mindestens 2 größer als der Zählergrad ist. Letztlich geht es darum, daß das reelle Integral $\begin{align} \int_1^{\infty} \frac{\dd x}{x^{k}} \, , \ \ k \in \mathbb{N} \end{align}$ dann und nur dann konvergiert, wenn $\begin{align} k \geq 2 \end{align}$ ist. Auf diese elementare Tatsache läßt sich alles zurückführen: $\begin{align} R(x) = \frac{ax^n + \ldots}{bx^m + \ldots} = \frac{x^n \cdot \left( a + \ldots \right)}{x^m \cdot \left( b + \ldots \right)} = \frac{1}{x^k} \cdot \underbrace{\ \frac{a + \ldots}{b + \ldots} \ }_{g(x)} \ \ \text{mit} \ \ k = m-n \end{align}$ Wegen $\begin{align} g(x) \to \frac{a}{b} \end{align}$ für $\begin{align} x \to \infty \end{align}$ muß $\begin{align} g(x) \end{align}$ beschränkt sein: $\begin{align} \left\| g(x) \right\| \leq c \, , \ \ x \in [1,\infty) \end{align}$ Somit gilt: $\begin{align} \left\| R(x) \right\| \leq \frac{c}{x^k} \, , \ \ x \in [1,\infty) \end{align}$ Das angegebene Beispiel fällt natürlich nicht genau unter diese Regel, die Funktion ist ja nicht einmal rational. Dennoch kann man mit ähnlichen Rechnungen über die Konvergenz befinden.
08.07.2018, 13:40	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das habe ich verstanden und die Aufgaben damit gelöst. Vielen Dank

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