Lineare Abbildungen

06.07.2018, 07:23

Snexx_Math

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Lineare Abbildungen

Hallo zusammen,

Ich verstehe bei folgender Aufgabe nicht , wie ich die Aussage überprüfe , also wie ich die Aufgabe überhaupt bearbeite:

Gibt es eine $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a_i)=b_i \end{eqnarray*}$ für i=1,2,3 , wobei $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ wie folgt gegeben sind ?

$\begin{eqnarray*} a_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , a_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , a_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , b_1= \begin{pmatrix} 5\\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} , b_2= \begin{pmatrix} 11 \\ 25 \\ 2 \end{pmatrix} , b_3= \begin{pmatrix} 19 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hätte nur einen Ansatz und das wäre jetzt zu zeigen, dass die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ 's eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sind und ebenso, dass alle b_i 's eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sind. Weil dann weiß man nach Satz unserer Vorlesung , dass genau eine solche Abbildung existiert.

LG

Snexx_Math

06.07.2018, 08:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Ich hätte nur einen Ansatz und das wäre jetzt zu zeigen, dass die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ 's eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sind

Ja, das genügt.

Zitat:

Original von Snexx_Math
und ebenso, dass alle b_i 's eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sind.

Diese Überprüfung ist nicht nötig - es sei denn, die Abbildung soll auch surjektiv sein, d.h., vollen Rang 3 haben.

06.07.2018, 08:18

Snexx_Math

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Ok alles klar smile

smile

Ich soll im Folgenden dann aber noch die Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{3 \times 3} \end{eqnarray*}$
bestimmen. Dafür muss ich dann aber prüfen, ob b1 bis b3 eine Basis bilden oder ?

Und da in der Vorlesung dazu echt wenig verstanden habe : Wie geht man vor wenn man die Matrixeinträge bestimmen will ?

LG

06.07.2018, 09:06

HAL 9000

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Aus symboltechnischen Gründen würde ich die Matrix eher $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nennen, d.h., es geht um $\begin{eqnarray*} f(x)=C\cdot x \end{eqnarray*}$ . Dann muss $\begin{eqnarray*} C\cdot a_i = b_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ gelten, was man zu $\begin{eqnarray*} C\cdot A = B \end{eqnarray*}$ zusammenfassen kann, wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus den drei Spaltenvektoren $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus den ebenfalls drei $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ gebildet wird. Und das kann man auflösen zu $\begin{eqnarray*} C= B\cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Snexx_Math
Dafür muss ich dann aber prüfen, ob b1 bis b3 eine Basis bilden oder ?

Zum wiederholten Mal: NEIN!!!

Z.B. können alle drei $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ gleich dem Nullvektor sein, dann ist $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ eben die Nullabbildung, das ist durchaus auch eine erlaubte lineare Abbildung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist nur so, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sowie in der Folge dann auch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ genau dann regulär sind, wenn die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ eine Basis bilden.

07.07.2018, 00:05

Snexx_Math

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Ok danke , habs verstanden.

Aber was ist wenn die Matrix nicht quadratisch ist ? Wie löst man es denn dann ?

07.07.2018, 09:25

HAL 9000

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Was genau soll nicht quadratisch sein? Wenn es z.B. um eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ geht mit einer Basis $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , dann ändert sich gar nichts:

$\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ ist dann nach wie vor eine reguläre Matrix, und das $\begin{eqnarray*} C\in\mathbb{R}^{m\times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=C\cdot x \end{eqnarray*}$ gewinnt man genauso durch $\begin{eqnarray*} C = B\cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Falls du es aber so meinst, dass du $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\neq n \end{eqnarray*}$ gegeben hast, dann ist das garantiert keine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ - da musst du dich dann schon näher erklären, an was für eine Verallgemeinerung du da denkst. verwirrt

verwirrt

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07.07.2018, 13:13

Snexx_Math

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Zitat:

Original von HAL 9000
Was genau soll nicht quadratisch sein? Wenn es z.B. um eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ geht mit einer Basis $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , dann ändert sich gar nichts:

$\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ ist dann nach wie vor eine reguläre Matrix

Ich weiß leider nicht was eine "reguläre" Matrix ist.

Aber bei einer Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ erhält man doch eine $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{R}^{m \times n} \end{eqnarray*}$

Also im Allgemeinen nicht quadratisch.

Eine Frage noch: wenn ich eine nxn Matrix invertiere erhalte ich wieder eine nxn Matrix oder ? Und die Matrix B ist eine mxn Matrix , aber warum ? Es gibt doch m Basis Vektoren , also müsste B doch eine mxm sein ?!

LG

EDIT: oh man habe A und C verwechselt Hammer

Hammer

LOL Hammer

Ja dann passts wieder , sry Wink

Wink

07.07.2018, 13:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Ich weiß leider nicht was eine "reguläre" Matrix ist.

Nachschauen... ich bin kein Lexikon.

07.07.2018, 13:59

Snexx_Math

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Stimmt

geschockt

Sry

Und danke für die Hilfe smile

smile

09.07.2018, 14:26

Snexx_Math

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Zitat:

Original von HAL 9000
Aus symboltechnischen Gründen würde ich die Matrix eher $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nennen, d.h., es geht um $\begin{eqnarray*} f(x)=C\cdot x \end{eqnarray*}$ . Dann muss $\begin{eqnarray*} C\cdot a_i = b_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ gelten, was man zu $\begin{eqnarray*} C\cdot A = B \end{eqnarray*}$ zusammenfassen kann, wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus den drei Spaltenvektoren $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus den ebenfalls drei $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ gebildet wird. Und das kann man auflösen zu $\begin{eqnarray*} C= B\cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich muss die Nachfrage nochmal stellen. Ich hab den ganzen Zusammenhang jetzt bis auf eine Sache bestens verstanden.
Ich verstehe momentan einfach noch nicht , warum wir die Einträge der Matrix so berechnen können. Die Matrix Einträge sind ja die Koeffizienten bei der Linearkombination der Basisvektoren aus dem Zielraum also es soll ja gelten: $\begin{eqnarray*} f(a_j)= \sum\limits_{i=1}^{3} c_{ij} \cdot b_i \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht wie man sich erschließt, dass unsere obigen berechneten Einträge , solche sind die das erfüllen verwirrt

verwirrt

09.07.2018, 17:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
es soll ja gelten: $\begin{eqnarray*} f(a_j)= \sum\limits_{i=1}^{3} c_{ij} \cdot b_i \end{eqnarray*}$

Unsinn, das muss keinesfalls gelten.

Was gefordert wird, ist $\begin{eqnarray*} f(a_j) = b_j = C\cdot a_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1,2,3 \end{eqnarray*}$ .

10.07.2018, 00:20

Snexx_Math

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Wie würde ich denn die Matrix $\begin{eqnarray*} M_A^{B} (f) \end{eqnarray*}$ berechnen ? (mit $\begin{eqnarray*} A=\{a_1,a_2,a_3\} , B=\{b_1,b_2,b_3\} \end{eqnarray*}$ )

Wenn ich mich nicht komplett vertue ist das ja hier total offentsichtlich $\begin{eqnarray*} M_A^{B} (f)= E_3 \end{eqnarray*}$

Aber wie würde man diese allgemein berechnen ? smile

smile

10.07.2018, 11:40

Elvis

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Das gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Basen sind. Im allgemeinen stehen in den Spalten der Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} M_A^B(f) \end{eqnarray*}$ einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Bilder $\begin{eqnarray*} f(a_j) \end{eqnarray*}$ der Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , dargestellt in der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

10.07.2018, 16:51

Snexx_Math

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Ja genau , dessen bin ich mir bewusst , aber gibt es ein allgemeines Schema , wie man die Matrix dann berechnet außer Stumpf zu schauen wie man die Bilder Basisvektoren aus der Defintionsmenge mit den Basisvektoren der Bildmenge ausdrückt ?

10.07.2018, 18:34

Elvis

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Ein allgemeines Schema ??? Ja, vielleicht --- "Basiswechsel" ( https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum) ) . Schema genug ??

12.07.2018, 16:08

Snexx_Math

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Ja, danke

smile

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