ML-Schätzer für die geo.Vert.

07.07.2018, 15:53

Lauraundlisa1

ML-Schätzer für die geo.Vert.

Hallo alle zusammen. Ich möchte gerne den ML Schätzer für die Geo. Verteilung berechnen.

Und zwar für die Geo. Verteilung der Art:

$\begin{eqnarray*} (1-p)^k*p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(p|k)=(1-p)^k*p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(p|k)=k*ln(1-p)+ln(p) \end{eqnarray*}$

ableitung 0 setzen ergibt: $\begin{eqnarray*} \frac{-k}{1-p}+\frac{1}{p} =0 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt das $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das ?

Am anfang habe ich bei der Funktion L nicht die möglichen Stichproben multipliziert, da X in der Grundgesamtheit Dichotom ist.

07.07.2018, 17:35

Huggy

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RE: ML-Schätzer für die geo.Vert.

Zitat:

Original von Lauraundlisa1
ableitung 0 setzen ergibt: $\begin{eqnarray*} \frac{-k}{1-p}+\frac{1}{p} =0 \end{eqnarray*}$

Richtig, auch wenn in der vorigen Zeile auf der linken Seite der ln fehlt.

Zitat:

und daraus folgt das $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$

Nicht richtig. Auch bei $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ (0 Fehlversuche, Erfolg im ersten Versuch) und $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ (1 Fehlversuch, Erfolg im zweiten Versuch) sollte sich für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Sinnvolles ergeben.

07.07.2018, 19:42

Lauraundlisa1

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RE: ML-Schätzer für die geo.Vert.
und wie kann ich das "reparieren" ? verwirrt

07.07.2018, 19:43

Lauraundlisa1

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RE: ML-Schätzer für die geo.Vert.
achso im nenner muss k+1 stehen so oder?
Wieso werden bei erstellung der Like Funktion ( bei der Binominal Verteilung) immer die ausdrücke multipliziert ? In manschen Seiten steht für die ML schätzung der Mittelwert warum ist das so ?

07.07.2018, 21:43

Huggy

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RE: ML-Schätzer für die geo.Vert.

Zitat:

Original von Lauraundlisa1
achso im nenner muss k+1 stehen so oder?

Ja.

Zitat:

Wieso werden bei erstellung der Like Funktion ( bei der Binominal Verteilung) immer die ausdrücke multipliziert ? In manschen Seiten steht für die ML schätzung der Mittelwert warum ist das so ?

Bei einer diskreten Zufallsgröße ist der ML-Schätzer per Definition derjenige Wert für den unbekannten Parameter (hier $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ), der die Wahrscheinlichkeit für die gegebene Stichprobe maximiert. Und bei deiner Form derr geometrischen Verteilung ist nun mal

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=(1-p)^kp \end{eqnarray*}$

Das ist also zu maximieren.

07.07.2018, 22:21

Lauraundlisa1

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RE: ML-Schätzer für die geo.Vert.
Ich meine halt bei der Poisson Verteilung muss man z.B erstmal alle Xi mal nehmen also so:

Warum müssen wir das hier nicht so macjen? Wegen diese Dichtom ?

08.07.2018, 08:16

Huggy

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RE: ML-Schätzer für die geo.Vert.
Wo ist denn dein Problem? Man hat doch bei der geometrischen Verteilung das analoge Produkt gebildet. Man hat $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Fehlversuche, also

$\begin{eqnarray*} P(X_i=0)=1-p \text { für } i=1,..., k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_{k+1}=1)=p \end{eqnarray*}$

Das Produkt dieser $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ Faktoren ist die Wahrscheinlichkeit für die Stichprobe und damit der zu maximierende Term.

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