Anwendung des Satzes von Rouche

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Anwendung des Satzes von Rouche
Meine Frage:
Sei y>1. Zeigen Sie, dass die Funktion z->z*exp(y-z)-1 genau eine Nullstelle im Einheitskreis besitzt.

Meine Ideen:
Die Funktion z*exp(y-z) hat genau eine Nullstelle bei 0. Ich dachte, wenn ich zeige, dass|z*exp(y-z)-1|>1, wäre die Aussage mit dem Satz von Rouche gezeigt, aber das funktioniert nicht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung des Satzes von Rouche
Den Satz habe ich mir mal durchgelesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9

Setzt man



so wäre zu beweisen, dass auf dem Einheitskreis gilt



Das geht recht problemlos.
Schachspieler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung des Satzes von Rouche
Hallo,
danke erstmal für die Antwort.
Dass |z*exp(y-z)|>1 ist für |z|=1 (also auf dem Rand), ist schnell zu sehen. In der Aufgabe steht aber IM Einheitskreis, also dachte ich, man muss das für |z|<1 zeigen und da stimmt es glaube ich nicht.
Viele Grüße,
Schachspieler
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung des Satzes von Rouche
Lies dir den Satz noch mal durch. Er besagt, wenn die Ungleichung auf dem Rand des Einheitskreises gilt, dann haben die Funktionen und im Inneren des Einheitskreises gleich viele Nullstellen.
Schachspieler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung des Satzes von Rouche
OK, alles klar.
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