Versicherungsmathe: Bonus-Malus-System Risikoverteilung

08.07.2018, 12:07	Franziska_Müller	Auf diesen Beitrag antworten »
Versicherungsmathe: Bonus-Malus-System Risikoverteilung Meine Frage: Hallo zusammen, ich benötige Hilfe eine Aufgabe nachzuvollziehen. Danke euch jetzt schon! Hier die Aufgabe: Ein Bonus-Malus-System bestehe aus 4 Klassen (K1 bis K4), Versicherungsperiode ist 1 Jahr. Einstieg erfolgt stets in K1. Nach einem Schadenfreien Jahr erfolg immer eine Höherstufung in die nächsthöhere Rabattklasse, aber nicht über K4 hinaus. Bei einem Schaden pro Jahr erfolgt die herabstuffung in die nächstniedrigere Rabattklasse, aber nicht über K1 hinaus. Bei 2 Schäden innerhalb eines Jahres wird in die übernächste Klasse herabgestufft, aber nicht über K1 hinaus. Anzahl der Schäden pro Jahr // Eintrittswahrscheinlichkeit: 0 Schäden = 0,8 Eintrittswahrscheinlichkeit 1 Schaden = 0,1 2 Schäden = 0,1 Frage: Wie verteilt sich das Risiko nach 4 Jahren (=im fünften Jahr) auf die Klassen des Bonus-Malus-Systems? Meine Ideen: Laut Musterlösung ergibt sich folgende Übergangsmatrix: $\begin{eqnarray} \mathbb P_{A}= (P_{A})_{ij}= \begin{pmatrix} 0,2 & 0,8 & 0 & 0 \\ 0,2 & 0 & 0,8 & 0 \\ 0,2 & 0 & 0 & 0,8 \\ 0,1 & 0,1 & 0 & 0,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei i: Ausgangsklassen und j: Zielklasse nach Umstuffung Frage hier: Das dritte Jahr erschließt sich mir nicht. Warum 0,2 0 0 0,8? Davor hatte ich die Möglichkeit aufzusteigen, wenn kein Schaden, aslo von K3 nach K4, ok. Deshalb die 0,8 an Stelle K4. Aber warum haben die Klassen K2 und K3 jeweils eine 0 stehen? $\begin{eqnarray} und \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{P_{1,A} } = ( 1 \ 0 \ 0\ 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{P}_{2,x} = \vec{P}_{t-1,x}\cdot \mathbb P_{x} \Rightarrow \vec{P}_{2,A} =( 0,2\ \ 0,8 \ \ 0\ \ 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{P}_{3,A} =( 0,2\ \ 0,16 \ \ 0,64\ \ 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{P}_{4,A} =( 0,2\ \ 0,16 \ \ 0,128 \ \ 0,512) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{P}_{5,A} =( 0,1488\ \ 0,2112 \ \ 0,128 \ \ 0,512) \end{eqnarray}$ Beim letzten Vektor weiß ich nicht wie man auf die ersten 2 Positionen kommt (0,1488 und 0,2112) 0,128 =0,80,80,2 0,512 = 0,80,80,8 (bis hierhin bin ich ja nur aufgestiegen in der Klasse, also die Wahrscheinlichkeiten kumuliert)
08.07.2018, 13:08	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verischerungsmathe: Bonus-Malus-System Risikoverteilung In der Musterlösung sind die Zeilen 3 und 4 der Übergangsmatrix offensichtlich falsch. Zeile 3 muss korrekt heißen $\begin{eqnarray} (0.1,0.1,0,0.8) \end{eqnarray}$ und Zeile 4 $\begin{eqnarray} (0,0.1,0.1,0.8) \end{eqnarray}$ Das ergibt dann auch ab dem 4. Jahr andere Häufigkeiten in den Klassen.
08.07.2018, 14:31	Franziska Müller	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich bin jetzt absolut verwirrt. Vielen Dank das passt mit mein ersten Gedanken zusammen und ich habe ewig gessesen und überlegt warum die Übergangsmatrix so ausschaut wie in der Musterlösung. um die anderen Häufigkeiten zu berechen (4 und 5) brauche ich hilfe. Ich stehe grad auf dem Schlauch... für P4 die letzte Position ist falls bis dahin kein Schaden auftritt. also 0.80.80.8 die vorletzte:Entwerder Jahre lang schadenfrei 0.80.8 und im letzen jahr ein oder 2 Schäden (0,1+0,1) = 0,128 und nun hab ich leider ein knoten im Kopf.... Könnt ihr mir weiterhelfen?
08.07.2018, 15:39	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man braucht hier doch gar nicht mehr zu denken. Ich ändere mal etwas die Notation, damit nicht alles mit $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ anfängt. Es sei $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ die Übergangsmatrix. Es seien $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ die Häufigkeiten in den Klassen in den Jahren $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} X_1=(1,0,0,0) \end{eqnarray}$ . Dann hat man $\begin{eqnarray} X_{i+1}=X_i\cdot P \end{eqnarray}$ Das steht in anderer Notation bei dir auch schon da. Und das ist einfach schrittweise auszurechnen. Ich komme auf $\begin{eqnarray} X_4=(0.136, 0.224, 0.128, 0.512) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_5=(0.0848, 0.1728, 0.2304, 0.512) \end{eqnarray}$

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