Meßbarkeit

09.07.2018, 10:49

ssuaG

Meßbarkeit

Meine Frage:
Eine kleine Verständnisfrage.
Sei Omega={1,2,3} und A={{ } ,{1,2,3},{2},{1,3}}. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ werde versehen mit der Sigma-Algebra der Borelschen-Mengen.

a) Ist die Abb. f:Omega ---> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
1-->10 , 2-->20 , 3-->30 messbar?

b) Ist die Abb. g:Omega ---> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
1-->10 , 2-->25 , 3-->10 messbar?

Meine Ideen:
Die Lsg. ist mir bekannt und lautet:
a) Ist nicht mb, weil f^(-1)({30})={3} nicht in der Sigma-Alg. A enthalten ist. Dies kann ich offensichtlich nachvollziehen.

Den Teil b) jedoch nicht, da g mb ist.
Warum kann man hier nicht genauso argumentieren wie in a), dass z.B g^(-1)({10})={3} nicht in A enthalten ist?

Danke im Voraus für evtl. Antworten.

09.07.2018, 11:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von ssuaG
b) Ist die Abb. g:Omega ---> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
1-->10 , 2-->25 , 3-->10 messbar?

[...]

Warum kann man hier nicht genauso argumentieren wie in a), dass z.B g^(-1)({10})={3} nicht in A enthalten ist?

Weil dein Urbild hier nicht stimmt: Für die Funktion aus b) ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}\left( \{10\}\right) = \{1,3\} \end{eqnarray*}$ , denn es ist ja nicht nur $\begin{eqnarray*} g(3)=10 \end{eqnarray*}$ , sondern auch $\begin{eqnarray*} g(1)=10 \end{eqnarray*}$ .

Das Urbild umfasst alle (!) Argumente, deren Funktionswerte in der entsprechenden Menge (hier: $\begin{eqnarray*} \{10\} \end{eqnarray*}$ ) liegen, nicht nur ausgewählte. unglücklich

09.07.2018, 11:14

ssuaG

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Danke HAL9000 !
Das kam mir auch komisch vor... vielen Dank nochmals für den Hinweis Freude

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