Polarkoordinaten und Extrema bestimmen

09.07.2018, 20:02

xxxM

Polarkoordinaten und Extrema bestimmen

Guten Abend zusammen,

ich benötige Hilfe bei meinem wöchentlichen Übungszettel.

Es sei
$\begin{eqnarray*} f : R^2 \Rightarrow R, f(x,y)=cos(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$
und sei
$\begin{eqnarray*} B \subset R^2 \end{eqnarray*}$ die Kreisscheibe mit Zentrum 0 und
Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi /2} \end{eqnarray*}$ .

Es sei F die als graph(f) über B definierte Fläche:

$\begin{eqnarray*} F =\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in R^3:\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \in B, z = f\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$
.
(a) Schreiben Sie f in Polarkoordinaten und bestimmen Sie die Nullstellen von f in R^2.
Zeigen Sie: f ist positiv auf dem Inneren von B und gleich 0 auf dem Rand von B.

Ich habe nicht so viel Plan. Geht es bei den Polarkoordinaten ausschließlich um die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=cos(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ oder um die Fläche graph(f) über B?

Gehe ich mit $\begin{eqnarray*} f(r,\phi) = \begin{pmatrix} r*sin(\phi) \\ r*cos(\phi) \\ z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in die richtige Richtung?

Dass f auf dem Inneren von B positiv ist und auf dem Rand von B gleich 0 folgt ja aus
$\begin{eqnarray*} B = \left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in R^2 : x^2+y^2\leq \pi /2\right\}<br /> <br /> cos(0)=1, cos(\pi /2)=0 \end{eqnarray*}$

oder?

Wichtig ist mir jetzt zu verstehen, wie genau ich f in Polarkoordinaten hinschreiben muss. Vielen Dank im Voraus smile

10.07.2018, 12:57

Huggy

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RE: Polarkoordinaten und Extrema bestimmen

Zitat:

Original von xxxM
Ich habe nicht so viel Plan. Geht es bei den Polarkoordinaten ausschließlich um die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=cos(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ oder um die Fläche graph(f) über B?

Das lässt sich aufgrund deiner Informationen nicht beantworten. Sagen lässt sich aber, im Aufgabenteil (a)

Zitat:

(a) Schreiben Sie f in Polarkoordinaten und bestimmen Sie die Nullstellen von f in R^2. Zeigen Sie: f ist positiv auf dem Inneren von B und gleich 0 auf dem Rand von B.

geht es nur um die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Wie die in Polarkoordinaten ausschaut, scheint dir klar zu sein. Du musst es nur mal explizit hinschreiben. Wie lautet denn $\begin{eqnarray*} x^2 +y^2 \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten?

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