Erwartungswert Beweis

10.07.2018, 09:44	Agent47	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Beweis Meine Frage: Hallo Ich würde gerne die linearität vom Erwartungswert beweisen für endliche. Meine Ideen: Vollständige Induktion: n=1 ist klar. Ind- schritt: E(X1+....+Xn+1)= E(X1+...+Xn) + E(Xn+1) = E(X1)+ E(X2)+...+ E(Xn+1) Gut so?
10.07.2018, 11:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, da der Beweis an sich schon so primitiv ist, sollte man dann wenigstens die Stellen deutlich kennzeichnen, wo wirklich was passiert. D.h., wo die Voraussetzung für zwei Summanden $\begin{eqnarray} E(U+V)=E(U)+E(V) \end{eqnarray}$ (kurz "S2") und auch wo die Induktionsvoraussetzung (kurz: "IV") eingeht: $\begin{eqnarray} E\left(X_1+\ldots+X_n+X_{n+1}\right) \stackrel{S2}{=} E\left(X_1+\ldots+X_n\right) + E\left(X_{n+1}\right) \stackrel{IV}{=} E\left(X_1\right)+\ldots+E\left(X_n\right) + E\left(X_{n+1}\right) \end{eqnarray}$ Da die Behauptung mit Summensymbol abgefasst wurde, wäre es aber anratsam, das auch im Beweis so zu halten und auf die "Pünktchenschreibweise" zu verzichten: $\begin{eqnarray} E\left(\sum_{j=1}^{n+1} X_j\right) = E\left(\sum_{j=1}^n X_j + X_{n+1}\right) \stackrel{S2}{=} E\left(\sum_{j=1}^n X_j \right) + E\left(X_{n+1}\right) \stackrel{IV}{=} \sum_{j=1}^n E\left(X_j\right) + E\left(X_{n+1}\right) = \sum_{j=1}^{n+1} E\left(X_j)\right) \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »