Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

10.07.2018, 12:05

manuel459

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Hi Leute,

ich verstehe nicht ganz weshalb man aus (X unabh. Y) schließen darf, dass (X^2 unabh. Y) oder (r*X unabh. Y) für r reelle Zahl.

Ich suche nicht zwingend nach einem Beweis, eine logische Erklärung würde mir auch sehr helfen (wenns die denn gibt) Big Laugh

um nicht unnötig viele Beiträge zu posten möchte ich eine weitere Frage noch anhängen:

Angenommen ich habe eine ZV X mit X(a)=1/2, X(b)=1/2, X(c)=1/2, X(d)=1/2 und es werde die Gleichverteilung auf {a,b,c,d} betrachtet.
Als Erwartungswert von X^2 ergäbe sich dann ja auch der Ausdruck P(X^2=(-1)^2), also P(X^2=1). Nun ist die Frage ob P(X^2=1)=P(X=1)+P(X=(-1)) oder ob P(X^2=1)=P(X=(-1)) ist?

je nachdem ist der Erwartungswert von X^2 nämlich 2 oder 1.

Vielen Dank für die Hilfe
LG

11.07.2018, 09:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von manuel459
ich verstehe nicht ganz weshalb man aus (X unabh. Y) schließen darf, dass (X^2 unabh. Y) oder (r*X unabh. Y) für r reelle Zahl.

Gehen wir es doch gleich allgemeiner an:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsgrößen sowie $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ messbare reelle Funktionen. Dann sind auch $\begin{eqnarray*} g(X),h(Y) \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Beweis:

$\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(g(X)\in A,h(Y)\in B) = P(g(X)\in A)\cdot P(h(Y)\in B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(g(X)\in A,h(Y)\in B) = P\left(X\in g^{-1}(A),Y\in h^{-1}(B)\right) \stackrel{!}{=} P\left(X\in g^{-1}(A)\right)\cdot P\left(Y\in h^{-1}(B)\right) = P(g(X)\in A)\cdot P(h(Y)\in B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$

Es ist offenkundig, dass man das ganze auch auf mehr als zwei Zufallsvariablen ausdehnen kann. Ja, es sind sogar "Bündelungen" denkbar wie etwa

$\begin{eqnarray*} X,Y,Z \;\mbox{unabhängig}\quad \Longrightarrow\quad g(X),h(Y,Z) \;\mbox{unabhängig} \end{eqnarray*}$

o.ä. smile

Zitat:

Original von manuel459
Angenommen ich habe eine ZV X mit X(a)=1/2, X(b)=1/2, X(c)=1/2, X(d)=1/2 und es werde die Gleichverteilung auf {a,b,c,d} betrachtet.

Du weißt schon, dass eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist? Wenn ich in diesem Kontext deine Angaben wortwörtlich nehme, dann ist bei dir $\begin{eqnarray*} \Omega=\{a,b,c,d\} \end{eqnarray*}$ ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, und deine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante, nämlich $\begin{eqnarray*} X=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , für die dann natürlich $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X^2)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich hab das Gefühl, du hattest etwas ganz anderes beabsichtigt als du letztendlich geschrieben hast - aber ich kann es nicht rekonstruieren. unglücklich

12.07.2018, 19:39

manuel459

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Erklärung!

ich versuchs nochmal ausdrücklich zu formulieren.

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,F,\mathbb{P}) \end{eqnarray*}$ ein WR mit $\begin{eqnarray*} \Omega=\{a,b,c,d\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F=P(\Omega) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}=U_{\Omega} \end{eqnarray*}$ die Gleichverteilung. Sprich - Laplace Raum.

Sei nun $\begin{eqnarray*} X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine ZV die a,b jeweils auf 1 und c,d jeweils auf -1 abbildet.

Für den Erwartungswert von X^2 berechne ich nun:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X^2=\mathbb{P}(X^2=1^2)\cdot 1^2 + \mathbb{P}(X^2=(-1)^2)\cdot (-1)^2 \end{eqnarray*}$ .
Der zweite Summand bereitet mir nun Probleme. ist P(X^2=(-1)^2) dasselbe wie P(X=-1) oder dasselbe wie P(X=-1 oder 1). X^2 ist ja dann 1, wenn X -1 oder 1 ist. Demnach würden sich je nach Betrachtung auch verschiedene Erwartungswerte ergeben. In der Uni habe ich es so gelernt, dass E g(X)=P(X=x)*g(x) ist, wobei g hier die Quadratfunktion wäre. Nach meiner Argumentation, dass das Ereignis {X^2=1} = {X=-1 oder 1) ist, sehe ich diese "Regel" aus der Uni als falsch.

Wo liegt der Denkfehler?

12.07.2018, 19:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von manuel459
Sei nun $\begin{eqnarray*} X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine ZV die a,b jeweils auf 1 und c,d jeweils auf -1 abbildet.

Also $\begin{eqnarray*} X(a)=X(b)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} X(c)=X(d)=-1 \end{eqnarray*}$ . Dann war das obige

Zitat:

Original von manuel459
X(a)=1/2, X(b)=1/2, X(c)=1/2, X(d)=1/2

wohl ein heftiger Blackout? verwirrt

Zitat:

Original von manuel459
Für den Erwartungswert von X^2 berechne ich nun:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X^2=\mathbb{P}(X^2=1^2)\cdot 1^2 + \mathbb{P}(X^2=(-1)^2)\cdot (-1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist Unsinn: Du kannst doch ein- und dieselbe Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X^2=1) \end{eqnarray*}$ hier nicht zweimal verwursteln. Der zweite Summand gehört gestrichen. unglücklich

Zitat:

Original von manuel459
In der Uni habe ich es so gelernt, dass E g(X)=P(X=x)*g(x) ist, wobei g hier die Quadratfunktion wäre.

Da fehlt rechts die Summation über die möglichen Werte von x, dann wird es richtig.

Und es gibt hier gar keinen Widerspruch, beide Berechnungsweisen führen zum Ziel:

a) $\begin{eqnarray*} E(X^2) = P(X^2=1)\cdot 1 = 1\cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ .

b) $\begin{eqnarray*} E(X^2) = P(X=1)\cdot 1^2 + P(X=-1)\cdot (-1)^2 = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dein Fehler ist, dass du eine dritte Formel "erfunden" hast, nämlich

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) \stackrel{???}{=} \sum_x P(g(X)=g(x))\cdot g(x) \end{eqnarray*}$ .

Und die ist i.a. falsch, zumindest dann wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist.

12.07.2018, 22:07

manuel459

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich den blöden Denkfehler gefunden Hammer

Manchmal will der Knopf nicht aufgehen.

Vielen Dank für die Geduld, jetzt hab ichs raus Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Verwandte Themen