Gleichung zeigen/Verteilungsfunktion

13.07.2018, 00:55

BorelCantelli

Gleichung zeigen/Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo,
Folgende Aufgabe
[attach]47672[/attach]

Meine Ideen:
Ich hab was versucht,aber irgendwie klemmt es mega :/ (Mag an der Uhrzeit liegen)
[attach]47673[/attach]
Ich hoffe jemand kann mir behilflich sein !

LG und Danke

13.07.2018, 08:22

HAL 9000

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Der Fehler ist gleich in der ersten Zeile:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^x \dd P^X(y) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ entspricht nicht $\begin{eqnarray*} F(\dd x) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} F(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , was etwas völlig anderes ist. unglücklich

Ich würde von rechts beginnend so umformen: Es ist $\begin{eqnarray*} 1-F(x) = \int\limits_{(x,\infty)} F(\dd y) \end{eqnarray*}$ , dies einsetzen und dann Fubini.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{(0,\infty)} ~ \int\limits_{(x,\infty)} \alpha x^{\alpha-1} ~ F(\dd y) ~ \dd x \stackrel{Fu}{=} \int\limits_{(0,\infty)} ~ \int\limits_{(0,y)} \alpha x^{\alpha-1} ~ \dd x ~ F(\dd y) = \int\limits_{(0,\infty)} \left[ x^{\alpha} \right]_{x=0}^y ~ F(\dd y) = \int\limits_{(0,\infty)} y^{\alpha} ~ F(\dd y) \end{eqnarray*}$ .

13.07.2018, 10:17

BorelCantelli

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Vielen vielen Dank !!

Eine (dumme) Frage..Was genau ist der Unterschied zwischen F(dx) und F(x) dx ? Ich mein das F nimmt ja auch Werte an,ich sehe diese Schreibweise zum ersten mal und war daher etwas verwirrt

13.07.2018, 14:26

HAL 9000

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Sagen wir es so: Ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f=F' \end{eqnarray*}$ die zugehörige Dichte, dann ist $\begin{eqnarray*} F(\dd x) = f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ . Muss ich noch weiter reden? Augenzwinkern

Zur Schreibweise: $\begin{eqnarray*} F(\dd x) \end{eqnarray*}$ ist hier im Sinne des Verteilungsmaßes zu verstehen. Ist eigentlich nicht ganz sauber, die Verteilungsfunktion des Maßes mit dem Maß selbst (in dem Fall hier $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ ) zu identifizieren, ist aber weithin so üblich.

Kann man auch als Stieltjes-Integral verstehen, dort ist aber eher Schreibweise $\begin{eqnarray*} \dd F(x) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} F(\dd x) \end{eqnarray*}$ üblich, gemeint ist jeweils dasselbe.

13.07.2018, 15:52

BorelCantelli

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Vielen Dank !!!

13.07.2018, 16:21

BorelCantelli

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[attach]47677[/attach]
Hab das noch unter meinen Aufschrieben gefunden,was uns als Musterlösung( eine andere Aufgabe) gegeben wurde.

Aber hier haben die ja auch (1-F(y)) mit dP^X... wie ich das gemacht hab verwirrt

13.07.2018, 17:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von BorelCantelli
wie ich das gemacht hab

Nein, nur weil ein paar Symbole hier auch auftreten, ist das noch lange nicht dasselbe wie deins oben. unglücklich

Also ehrlich, wenn du dich durch einen leicht anderen Lösungsaufschrieb wieder verwirren lässt und alles in Frage stellst, dann kann ich das nur als flatterhaft bezeichnen.

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