Martingal

13.07.2018, 10:25

ssuaG

Martingal

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

Ich versuche gerade eine Aufgabe zu verstehen und bei einer Stelle komme ich leider nicht weiter.

Sei Yn eine Folge von stochastisch u.i.v. Zufallsvariablen mit
P(Yn = 1) = p = 1 - P(Yn = -1) , p $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (0,1).
Weiter sei q = 1 - p , Sn = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} Yi \end{eqnarray*}$
und Xn = (q/p)^Sn .
Schließlich sei eine Filtration (Fn) geg. durch Fn = Sigma(Y1,...,Yn).
Zeige:
Falls p = q = 1/2 , so ist (Sn^2 - n) ein (Fn)- Martingal.

Meine Ideen:
Der Erwartungswert ex. aus d. Beschränktheit von Sn.

E[(Sn+1)^2 - (n+1)| Fn] = E[(Sn + Yn+1)^2 - (n+1)| Fn]
= Sn^2 + 2Sn*E[Yn+1] + E[Yn+1^2] -(n+1)
= Sn^2 + 0 + 1 - (n + 1) = Sn^2 - n

Wieso gilt hier 2Sn*E[Yn+1]=0 und E[Yn+1^2] = 1 ?
Vielleicht ist es für euch trivial und ihr könntet mir dies bitte erklären, wenn jemand kurz Zeit dafür hat. Vielen Dank im voraus.

13.07.2018, 15:22

ssuaG

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Sorry für die Fragestellung! Wahrscheinlich ist dies für euch doch nicht so trivial wie angenommen. Danke trotzdem für eure Mühen. Ich versuche es dann mal in einen anderen Forum Wink

14.07.2018, 09:10

SHigh

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Hallo,

falls du auch in anderen Foren nicht innerhalb von einem halben Tag eine Antwort bekommen hast:

Zitat:

Sei Yn eine Folge von stochastisch u.i.v. Zufallsvariablen mit P(Yn = 1) = p = 1 - P(Yn = -1) , p &#8712 traurig

0,1).

Zitat:

Falls p = q = 1/2

Damit hast du doch alles, es gilt also $\begin{eqnarray*} P(Y_n=1)=P(Y_n=-1)=\frac 12 \end{eqnarray*}$ Damit folgt doch sofort $\begin{eqnarray*} \mathbb E(Y_n)= 1\cdot \frac 12 + (-1)\cdot \frac 12 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Analog folgt mit $\begin{eqnarray*} P(Y_n^2=1)=P(Y_n=1)+P(Y_n=-1)=1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \mathbb E(Y_n^2)=1 \end{eqnarray*}$ .

Grüße

14.07.2018, 10:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von SHigh
Analog folgt mit $\begin{eqnarray*} P(Y_n^2=1)=P(Y_n=1)+P(Y_n=-1)=1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \mathbb E(Y_n^2)=1 \end{eqnarray*}$ .

Man kann es auch so darstellen: Wegen $\begin{eqnarray*} Y_n\in\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Y_n^2=1 \end{eqnarray*}$ eine Konstante, und damit offenkundig $\begin{eqnarray*} E[Y_n^2]=1 \end{eqnarray*}$ .

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