Quadratische Summe

13.07.2018, 18:23

LAMHOU

Quadratische Summe

Meine Frage:
Ich weiss bereits wie man die Summe Sigma(i=1; n=x) 1/n berechnet. Man gibt In (x) in den Taschenrechner ein. Ich kenne auch den Korrekturterm von etwa 0.5 der bei besonders großen Summen zum Einsatz kommt.
Jetzt muss ich aber eine quadratische Summe berechnen.
Also Sigma(i=1; n=x) 1/n^2. Ich weiss dass solche Summen nicht konvergieren, allerdings ist das ja kein Problem wenn ich ein bestimmtes Limit n=x habe.

Meine Ideen:
Die nichtquadratische Summe einfach zum Quadrat nehmen?

13.07.2018, 21:21

Dopap

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RE: Quadratische Summe

Zitat:

Original von LAMHOU
Meine Frage:
..
Jetzt muss ich aber eine quadratische Summe berechnen.
Also Sigma(i=1; n=x) 1/n^2. Ich weiss dass solche Summen nicht konvergieren, allerdings ist das ja kein Problem wenn ich ein bestimmtes Limit n=x habe.

Meine Ideen:
Die nichtquadratische Summe einfach zum Quadrat nehmen?

zum "Quadrat nehmen" geht gar nicht.

Deine Summe ist konvergent. Dazu gibt es diverse Konvergenzkriterien.

14.07.2018, 00:21

LAMHOU

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RE: Quadratische Summe

Zitat:

Deine Summe ist konvergent. Dazu gibt es diverse Konvergenzkriterien.

Dass sie konvergent ist weiss ich auch, aber sie ist es eben nur deshalb weil ich sie nur bis zu einem bestimmten n=x laufen lasse.
Wenn wir zum Beispiel 10^30 für n nehmen, was kommt dann raus?

14.07.2018, 01:13

LAMHOU

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RE: Quadratische Summe
Ok, also es ist pi^2/6. Hat sich also erledigt. Trotzdem danke für die Aufmerksamkeit.

14.07.2018, 01:29

Helferlein

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RE: Quadratische Summe

Zitat:

Original von LAMHOU
Dass sie konvergent ist weiss ich auch, aber sie ist es eben nur deshalb weil ich sie nur bis zu einem bestimmten n=x laufen lasse.

Endliche Reihen sind grundsätzlich konvergent. Was Dopap Dir gesagt hat ist aber, dass hier sogar die unendliche Reihe konvergent ist, auch wenn Du das nicht wahrhaben willst.
Passende Schlagwörter sind Riemannsche Ceta-Funktion oder Basler Problem.

Auf Schulniveau ist das allerdings schwer nachvollziehbar, wobei man sich da aber auch nicht wirklich mit dieser Fragestellung näher auseinandersetzen muss.

14.07.2018, 06:54

HAL 9000

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RE: Quadratische Summe

Zitat:

Original von LAMHOU
Ich weiss bereits wie man die Summe Sigma(i=1; n=x) 1/n berechnet. Man gibt In (x) in den Taschenrechner ein.

Vielleicht meinst du ja das richtige, aber so ausgedrückt ist das natürlich völlig falsch: Von Gleichheit kann hier überhaupt keine Rede sein. unglücklich

Was allenfalls gilt ist, dass der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty} \left(\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} - \ln(m) \right) \end{eqnarray*}$

existiert, und zwar mit Wert $\begin{eqnarray*} \gamma \approx 0.577 \end{eqnarray*}$ , die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Das ist dann der Korrekturterm, von dem du im nächsten Satz redest.

Für endliche $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kann man zumindest sagen, dass $\begin{eqnarray*} \delta_m := \sum_{n=1}^m \frac{1}{n} - \ln(m) - \gamma \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

14.07.2018, 11:17

LAMHOU

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RE: Quadratische Summe
Sind das Bindestriche oder Minuszeichen?
Ich dachte der Korrekturterm gamma wird addiert, nicht subtrahiert?
Also im Taschenrechner hab ich bisher immer eingegeben In (m) + gamma.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

14.07.2018, 12:29

HAL 9000

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RE: Quadratische Summe

Zitat:

Original von LAMHOU
Sind das Bindestriche oder Minuszeichen?

Minus.

Zitat:

Original von LAMHOU
Ich dachte der Korrekturterm gamma wird addiert, nicht subtrahiert?

Denk doch bitte mal genauer nach, wie das eine mit dem anderen zusammenhängt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty} \left(\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} - \ln(m) \right) = \gamma \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty} \left(\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} - \ln(m) - \gamma \right) = 0 \end{eqnarray*}$ , und dies wiederum bedeutet für große $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m \frac{1}{n} \approx \ln(m) + \gamma \end{eqnarray*}$ .

14.07.2018, 14:17

LAMHOU

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RE: Quadratische Summe
Ok, kapiert. Danke für deine Mühe. Freude

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