Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung

14.07.2018, 17:37	Gokuo	Auf diesen Beitrag antworten »
Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung Meine Frage: Hallo, ich habe Schwierigkeiten mit folgender Anfangswertproblem Aufgabe. Gegeben ist die inhomogene Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} xy'(x) = y(x) + \sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray}$ mit den Bedingungen a>0 und $\begin{eqnarray} y(\frac{a}{2})=b \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich denke, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray}$ das Störglied ist und deshalb habe ich erstmal die homogene Lösung berechnet. Die ergibt bei mir y = x+C. Ich weis jetzt aber nicht so richtig weiter wie ich auf die inhomogene Lösung komme. Ich würde mich echt freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
14.07.2018, 18:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde an deiner Stelle die homogene Lösung noch einmal nachrechnen, denn es gilt im allgemeinen ja nicht $\begin{eqnarray} x\cdot 1=x+C \end{eqnarray}$
14.07.2018, 20:10	Goku1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Lösung der homogenen Gleichung dann y = x * K ? (weil K = e^lnC) Tut mir Leid, dass ich erst jetzt antworte ich war bis eben beschäftigt.
14.07.2018, 20:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig und nun würde ich es mit Variation der Konstanten versuchen.
14.07.2018, 20:54	Goku2	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Ich bin jetzt durch Variation der Konstanten auf diese Formel gekommen: $\begin{eqnarray} c'(x)=\frac{c(x)}{x} -c(x) +\frac{\sqrt{a^2-x^2} }{xK} \end{eqnarray*}$ , doch bevor Ich die jetzt integriere wollte ich erstmal fragen ob das so weit stimmt. (Übrigens Danke für die Hilfe und Geduld )
14.07.2018, 21:48	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso hast Du eine Funktion c und eine Konstante K in der Gleichung? Du hast doch den Ansatz y(x)=xC(x) ( mit entsprechender Ableitung) in die DGL eingesetzt, oder nicht?
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14.07.2018, 22:15	Goku3	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Ich habe einen Fehler gemacht und x = c(x) gesetzt . Es muss $\begin{eqnarray} C'(x) = \frac{\sqrt{a^2 - x^2} }{x^2} \end{eqnarray}$ rauskommen oder?
14.07.2018, 22:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt
14.07.2018, 22:20	Goku4	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh dann werde ich davon jetzt erstmal das Integral bilden.
14.07.2018, 22:46	Goku5	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Ergebnis ist $\begin{eqnarray} C(x) = - \frac{\sqrt{a^2-x^2} }{x} -arcsin(\frac{x}{a} ) +C \end{eqnarray}$ . Jetzt muss ich als nächstes C(x) in die Gleichung y(x) = C(x) * K einsetzen oder?
14.07.2018, 22:51	Goku6	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry vertippt, Ich meine einsetzen in y(x) = x * C(x)
14.07.2018, 23:44	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab die Stammfunktion jetzt nicht überprüft, aber das sieht ok aus. Mit Einsetzen bestimmst Du die Variable C.
15.07.2018, 18:00	Goku7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich glaube den Rest krieg ich allein hin. Vielen dank nochmal für deine Hilfe, alleine hätte Ich das nicht geschaff

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