DGL mittels Hauptvektoren lösen

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15.07.2018, 00:26	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL mittels Hauptvektoren lösen Hallo Leute, ich benötige unbedingt Hilfe bei der folgenden Aufgabe. [attach]47685[/attach] Nun, der Eigenwert 1 hat die algebraische Vielfachheit 3. Ich berechne also den Eigenvektor und erhalte dafür $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun bestimme ich den Hauptvektor erster Stufe mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} (A-2\cdot\mathbb I)\cdot v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das ergibt mit den Vektor \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} In der Musterlösung wird nun aber $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ genommen, da: $\begin{eqnarray} v_{2}\in span\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ Das verstehe ich nicht. Warum nehme ich nicht den berechneten Eigenvektor? Bitte helft mir, ich komme hier einfach nicht weiter
15.07.2018, 00:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht böse gemeint, aber anscheinend hast Du wieder zuviel oder zu lange gelernt heut. Zunächst einmal ist nicht 1, sondern 2 der Eigenwert. Da Du aber den Rest mit 2 gerechnet hast, gehe ich von einem Schreibfehler aus. Dann sollte Dir aber der Begriff des Vektorraums bekannt sein und dass ein solcher mehrere Basen besitzt. Nur weil die Musterlösung eine andere Basis vorschlägt, ist deine doch nicht falsch. Genauer gesagt ist jeder Vektor der Gestalt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Hauptvektor 1. Stufe, denn $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0&1&3 \\ 0&0&-1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\1\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
15.07.2018, 01:37	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Helferlein, danke für deine Antwort. Das hier die erste Komponente frei gewählt wurde dachte ich mir zwar. Ich wollte aber vorsichtshalber fragen, denn auch der Rest der Aufgabe deckt sich leider nicht. Nun berechnet ich also den Hauptvektor zweiter Stufe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dies ergibt mir einen Hauptvektor $\begin{eqnarray} v_{3}=\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun setze ich die Lösung zusammen: $\begin{eqnarray} y(x) = e^{2x}\cdot\Big( c_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_{2}x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +c_{3}x^{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \Big) \end{eqnarray}$ Das deckt sich aber wieder nicht mit der Lösung aus der Übung (die mir gerade nicht voeliegt da ich unterwegs bin, sonst würde ich sie posten). Darüberhinaus hast du mit zuviel gelernt = zuwenig Schlaf natürlich Recht Mich ärgert es nur, dass ich das hier einfach nicht hinbekomme
15.07.2018, 02:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich mich wiederholen? Nur weil die Musterlösung anders aussieht, muss deine doch nicht falsch sein. Du bist jetzt bei der Allgemeinen Lösung. Erst wenn deine Lösung des AWP von der Musterlösung abweicht, sollte man die Rechnung überprüfen.
15.07.2018, 02:40	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach meiner Lösung ist also $\begin{eqnarray} y(0)=\begin{pmatrix}c_{1} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow c_{1}=1, c_{2} = c_{3} = 0 \end{eqnarray}$ Nach Musterlösung sind aber alle drei =1. Wo liegt mein Fehler?
15.07.2018, 09:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur von oben: Du hast die allgemeine Lösung falsch zusammengesetzt.
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15.07.2018, 11:31	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, nun bin ich doch mal auf einem Weg Leider sehe ich den Fehler oben nicht, ich habe das nach einer Anleitung aus einem Beispiel gemacht (was ich auch gerne hier posten kann). Mir fiele nur ein, dass ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ vor das $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ multipliziere, aber das ändert ja nichts, da ich eine Konstante reinziehe. Sagst du mir bitte, wo der Fehler liegt?
15.07.2018, 11:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig wäre meiner Meinung nach $\begin{eqnarray} y(x) = e^{2x}\cdot c_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + e^{2x} \cdot c_{2}\big( x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\big) + e^{2x} \cdot c_{3}\big( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{x^2}2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \big) \end{eqnarray}$
15.07.2018, 12:29	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das hält einer Überprüfung mit GeoGebra stand. Die Konstanten sind $\begin{eqnarray} c_{1}=-4,c_{2}=6,c_{3}=-1 \end{eqnarray}$ Von daher scheint die Musterlösung die falsche zu sein. Ich jedenfalls habe hier gerade was gelernt und du hast meinen Sonntag gerettet Vielen Dank für die Hilfe und die Geduld!
17.07.2018, 12:18	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss diesen Thread nochmal benutzen. Ich habe nun die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 2 & -3 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit dem dreifachen Eigenwert 1. Das ergibt mir zwei Eigenvektoren $\begin{eqnarray} v_{1} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ 0 \end{pmatrix} ,v_{2} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun brauche ich aber noch einen Hauptvektor. Die beiden Ansätze $\begin{eqnarray} (A+\mathbb I)=v_{1} \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} (A+\mathbb I)=v_{2} \end{eqnarray}$ führem mich allerdings zum Widerspruch 0=1. Ich weiß dass es daran liegt, dass $\begin{eqnarray} (A+\mathbb E)^{2}=0 \end{eqnarray}$ ist, aber wie setze ich nun die Lösung zusammen?

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