Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?

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akuij86 Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?
Meine Frage:
Gegeben sei folgende Aufgabe:
f: R->[0,1), f(x) = x^2 / (x^2 + 1)
Untersuchen Sie die Funktion auf Injektivität bzw. Surjektivität.




Meine Ideen:
Für die Injektivität gilt per Definition: f(x1) = f(x2) = > x1 = x2

x1^2 / (x1^2 + 1) = x2^2 / (x2^2 + 1)
x1^2 * (x2^2 + 1) = x2^2 * (x1^2 + 1)
x1^2 * x2^2 + x1^2 = x2^2 * x1^2 + x2^2
x1^2 = x2^2
x1 = +- sqrt(x2^2)
x1 = x2 oder x1 = -x2

somit laut Definition nicht injektiv, da auch x1 = -x2 möglich.

Für die Surjektivität gilt per Definition: Für alle y Element [0,1) existiert mindestens ein x Element R, sodass f(x) = y gilt.

y = x^2 / (x^2 + 1) nach x umstellen:
x^2 = y * (x^2 + 1)
x^2 = yx^2 + y
y = x^2 - yx^2
y = x^2 * (1-y)
x^2 = y / (1-y)
x = +- sqrt(y / ((1-y) + 1)

x einsetzen in f(x) = y

f(x)= y = (sqrt(y / (1-y)))^2 / ((sqrt(y / (1-y)))^2 + 1)
f(x)= y = y / (1 - y) / (y / (1-y) + (1 - y) / (1 - y))
f(x)= y = y / (1 - y) / (1 / (1 - y))
f(x)= y = y / 1
f(x)= y = y

Wäre damit die Surjektivität überpüft und vorhanden?
Bzw. ist die Vorgehensweise richtig?

Danke schonmal im Voraus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?
Zitat:
Original von akuij86
somit laut Definition nicht injektiv, da auch x1 = -x2 möglich.

Im Prinzip ist der Weg ok, aber ein simples Gegenbeispiel hätte auch gereicht. Augenzwinkern

Zitat:
Original von akuij86
x = +- sqrt(y / ((1-y) + 1)

Wie kommst du darauf? (Auch die Klammersetzung paßt nicht.)

Zitat:
Original von akuij86
x einsetzen in f(x) = y

Das kann man machen, muß man aber nicht. Der Nachweis, daß ein x existiert, ist ausreichend.
akuij86 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?
Bei dieser Funktion sieht man Gegenbeispiel relativ einfach.
Aber würde ich sonst dies einfach stur nachrechnen?


Da hab ich wohl nicht aufgepasst, es sollte heissen:
x^2 = y / (1-y)
x = +- sqrt(y / (1-y))


Wie kann ich das verstehen, das ein x als Nachweis ausreichend ist ?
Also einfach nur nach x umstellen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?
Zitat:
Original von akuij86
Aber würde ich sonst dies einfach stur nachrechnen?

Im Prinzip ja.

Zitat:
Original von akuij86
Wie kann ich das verstehen, das ein x als Nachweis ausreichend ist ?
Also einfach nur nach x umstellen ?

Auch hier: im Prinzip ja. Allerdings auch nur, wenn es mit vernünftigem Aufwand machbar ist. Mit dem Ergebnis hast du ja auch die Umstellung durchgeführt. Abgesehen von y=0 gibt es zu jedem y zwei Möglichkeiten, ein geeignetes Urbild zu finden. smile
akuij86 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?
Super vielen Dank für die Antwort.
Das hat mir sehr weitergeholfen.

Wie wäre es formal, wenn die funktion nicht surjektiv ist und ich würde versuchen nach x umzustellen?
Würde ich dann nicht nach x auflösen können?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fakt, etwas "nicht auflösen zu können, spricht i.a. nicht gegen die Surjektivität. So ist z.B. mit surjektiv (sogar bijektiv), dennoch dürfte es dir schwerfallen, für beliebige nach aufzulösen.
 
 
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