Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz? |
16.07.2018, 13:54 | akuij86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz? Gegeben sei folgende Aufgabe: f: R->[0,1), f(x) = x^2 / (x^2 + 1) Untersuchen Sie die Funktion auf Injektivität bzw. Surjektivität. Meine Ideen: Für die Injektivität gilt per Definition: f(x1) = f(x2) = > x1 = x2 x1^2 / (x1^2 + 1) = x2^2 / (x2^2 + 1) x1^2 * (x2^2 + 1) = x2^2 * (x1^2 + 1) x1^2 * x2^2 + x1^2 = x2^2 * x1^2 + x2^2 x1^2 = x2^2 x1 = +- sqrt(x2^2) x1 = x2 oder x1 = -x2 somit laut Definition nicht injektiv, da auch x1 = -x2 möglich. Für die Surjektivität gilt per Definition: Für alle y Element [0,1) existiert mindestens ein x Element R, sodass f(x) = y gilt. y = x^2 / (x^2 + 1) nach x umstellen: x^2 = y * (x^2 + 1) x^2 = yx^2 + y y = x^2 - yx^2 y = x^2 * (1-y) x^2 = y / (1-y) x = +- sqrt(y / ((1-y) + 1) x einsetzen in f(x) = y f(x)= y = (sqrt(y / (1-y)))^2 / ((sqrt(y / (1-y)))^2 + 1) f(x)= y = y / (1 - y) / (y / (1-y) + (1 - y) / (1 - y)) f(x)= y = y / (1 - y) / (1 / (1 - y)) f(x)= y = y / 1 f(x)= y = y Wäre damit die Surjektivität überpüft und vorhanden? Bzw. ist die Vorgehensweise richtig? Danke schonmal im Voraus. |
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16.07.2018, 14:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?
Im Prinzip ist der Weg ok, aber ein simples Gegenbeispiel hätte auch gereicht.
Wie kommst du darauf? (Auch die Klammersetzung paßt nicht.)
Das kann man machen, muß man aber nicht. Der Nachweis, daß ein x existiert, ist ausreichend. |
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16.07.2018, 15:04 | akuij86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz? Bei dieser Funktion sieht man Gegenbeispiel relativ einfach. Aber würde ich sonst dies einfach stur nachrechnen? Da hab ich wohl nicht aufgepasst, es sollte heissen: x^2 = y / (1-y) x = +- sqrt(y / (1-y)) Wie kann ich das verstehen, das ein x als Nachweis ausreichend ist ? Also einfach nur nach x umstellen ? |
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16.07.2018, 15:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz?
Im Prinzip ja.
Auch hier: im Prinzip ja. Allerdings auch nur, wenn es mit vernünftigem Aufwand machbar ist. Mit dem Ergebnis hast du ja auch die Umstellung durchgeführt. Abgesehen von y=0 gibt es zu jedem y zwei Möglichkeiten, ein geeignetes Urbild zu finden. |
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16.07.2018, 16:38 | akuij86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Injektivität und Surjektivität => richtiger Lösungsansatz? Super vielen Dank für die Antwort. Das hat mir sehr weitergeholfen. Wie wäre es formal, wenn die funktion nicht surjektiv ist und ich würde versuchen nach x umzustellen? Würde ich dann nicht nach x auflösen können? |
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16.07.2018, 16:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Fakt, etwas "nicht auflösen zu können, spricht i.a. nicht gegen die Surjektivität. So ist z.B. mit surjektiv (sogar bijektiv), dennoch dürfte es dir schwerfallen, für beliebige nach aufzulösen. |
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