Basen bestimmen

17.07.2018, 14:46	Sophie.	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen bestimmen Meine Frage: Hallo, ich bin gerade bei folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} U = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in R^3 / a+b= 0 \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt eine Basis von U bestimmen. Normalerweise bestimme ich eine Basis, indem ich die Vektoren in Zeilen in eine Matrix schreibe, diese umforme sodass die maximal linear unabhängigen Vektoren übrig bleiben, und dann lese ich den Rang ab. Aber wie soll das in dem Beispiel gehen. Ich kann ja nicht a, b, c in eine Zeile schreiben. Und was soll mir das a+b=0 bringen? Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar. Liebe Grüße Sophie. Meine Ideen: oben Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
17.07.2018, 15:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun du könntest z.B. Parameter $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ durch diese NB $\begin{eqnarray} a+b=0 \end{eqnarray}$ ganz eliminieren, dann ist nämlich $\begin{eqnarray} b=-a \end{eqnarray}$ und es geht also nur noch um die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a\\ -a\\ c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
19.07.2018, 09:53	Sophie.	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Aber was mache ich jetzt weiter? Ich muss ja eine Basis herausfinden. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Die Vektoren sind dort aber linear abhängig? Obwohl (1,-1,0) und (0,0,1) sind ja linear unabhängig. Könnte ich die beiden und zum Beispiel einen standarteinheitsvektor nehmen wie (0,1,0) und die drei würden dann die Basis von U bilden? Oder ist das komplett falsch?
19.07.2018, 10:14	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist insofern falsch, da (0,1,0) kein Element von U ist. Wie sich die Elemente von U als Linearkombination aus linear unabhängigen Vektoren darstellen läßt, hat HAL 9000 gezeigt. Daraus kannst du eine Basis ablesen. Und bitte: es heißt "Standard" und nicht "Standart".
19.07.2018, 10:26	Sophie.	Auf diesen Beitrag antworten »
Also verstehe ich das richtig, dass (1,-1,0), (0,0,1) die Basis von U bilden?
19.07.2018, 11:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau genommen: sie bilden eine Basis. Du kannst aber auch gerne eine andere Basis nehmen.
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