Lebesgue-Integrierbarkeit von e^(t*X)

17.07.2018, 22:44	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
*Lebesgue-Integrierbarkeit von e^(tX)** Hi Leute, ich möchte den Erwartungswert von e^(tX) mit der reellen Zahl t berechnen, wobei X eine gleichverteilte Zufallsvariable auf dem Intervall [a,b] ist. Dazu muss zuerst e^(tX) integrierbar sein. Genügt es hier zu sagen, dass e^(tX) mit der Wahrscheinlichkeit 1 Werte im Intervall [e^(ta),e^(tb)] wenn t>0 und [e^(tb),e^(t*a)] annimt wenn t<0 ist? Danke und LG
18.07.2018, 07:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir erwähnte Beschränktheit allein reicht natürlich nicht, aber im Zusammenhang mit der Messbarkeit (die u.a. aus der Stetigkeit folgt) genügt es dann auf jeden Fall. Ich weiß aber nicht, was es da überhaupt groß zu debattieren gibt: Für nichtnegative stetige Funktionen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wie hier $\begin{eqnarray} g(x)=e^{tx} \end{eqnarray}$ sowie stetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit Dichte $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ rechnet man schlicht das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray} E(g(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ aus. Genau dann, wenn der Wert $\begin{eqnarray} <\infty \end{eqnarray}$ ist, existiert der Erwartungswert, Punkt.

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