Umgekehrte Poisson- oder Bernoulli-Verteilung

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ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
Umgekehrte Poisson- oder Bernoulli-Verteilung
Meine Frage:
Hallo,
ich möchte gerne in einer Produktion eine Stichprobenmenge ermitteln, um eine Mindestanzahl von 40 fehlerhaften Teilen bei einer Trefferwahrscheinlichekeit von 0,5% und einer Grundgesamtheit von 7500 produzierten Teilen mit einer Mindestsicherheit von 95% zu finden.
Da das keine klassische Frage nach der Wahrscheinlichkeit ist, wollte ich die Umkehr-Bernoullianalyse verwenden. Da steigen allerdings die Rechner aus, deswegen wollte ich zur Poissonanalyse wechseln. Da komme ich allerdings nicht mehr weiter unglücklich

Meine Ideen:
Grundgesamtheit n=7500
Erfahrungswert gefundener Fehler m=40 (Durchschnittswert der letzten Monate)
Trefferwahrscheinlichkeit p= m/n= 40/7500= 0,005
Mittelwert Lambda= n*p= 7500*0,005= 37,5

--> Fragestellung: Wie viele produzierte Teile (k) muss man mindestens prüfen, um zu 95% Sicherheit mindestens 40 fehlerhafte Teile bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von 0,05% zu finden?

--> Mein Ansatz über kumulierte Binomialverteilung scheitert an den großen Zahlen :/

--> Poisson, da große Grundgesamtheit bei kleiner Auftrittswahrscheinlichkeit:

Da nach mindestens gefragt ist, muss ich mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen:





Ist das soweit richtig? Ich weiß nun aber nicht mehr wie ich weiter machen muss. Könnt ihr mir da helfen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung, die sich nach Poisson ergibt, ist transzedent, d.h. algebraisch nicht zu lösen.
Du kannst ein Näherungsverfahren oder ein CAS dazu verwenden.

Infolge der hohen Stückzahl n = 7500 ist aber ebenso gut die Normalverteilung geeignet.
Es ist allerdings deren Umkehrung zu verwenden, entweder rechne mit der Phi(z)-Tabelle oder der Funktion NORMINV(p; µ; s) in Excel

[s² = V, V = µ*(1-p)]

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwas ist an der Problemformulierung oberfaul:

Es gibt insgesamt nur 40 fehlerhafte unter den insgesamt 7500 Teilen, und du willst wirklich durch eine Stichprobenentnahme alle (!) 40 finden, zumindest mit einer hohen Wahrscheinlichkeit 95% ???

Das klingt irgendwie ziemlich schräg, denn dann ist von vornherein klar, dass unter diesen Vorgaben die Stichprobe fast alle 7500 Teile umfassen muss. Das führt irgendwie den Begriff "Stichprobe" ad absurdum, anratsam wäre dann wohl eher, das als "Vollkontrolle" zu bezeichnen...
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Danke für Eure Antworten.

Zitat:
Original von mYthos
Die Gleichung, die sich nach Poisson ergibt, ist transzedent, d.h. algebraisch nicht zu lösen.
Du kannst ein Näherungsverfahren oder ein CAS dazu verwenden.


Wie würde das mit einem Näherungsverfahren aussehen? Bzw. meine Idee dazu wäre viele n einzusetzen (mit HIlfe einer Excel beispielsweise) und dann schauen ab welchem n die Gegenwahrscheinlichkeit (hier 1-p=0,995) erreicht wird. Wäre das so machbar? Wie sieht die Formel aus, in der ich die n einsetzen muss? :/

Zitat:
Original von mYthos
Infolge der hohen Stückzahl n = 7500 ist aber ebenso gut die Normalverteilung geeignet.


Bisher wurden in dem Beispiel auch Stichproben gemacht und in den monatlichen Stichproben hatten wir Stückzahlen von ca. 880 Prüfungen im Schnitt.

Zitat:
Original von HAL 9000
Das klingt irgendwie ziemlich schräg, denn dann ist von vornherein klar, dass unter diesen Vorgaben die Stichprobe fast alle 7500 Teile umfassen muss. Das führt irgendwie den Begriff "Stichprobe" ad absurdum, anratsam wäre dann wohl eher, das als "Vollkontrolle" zu bezeichnen...


Das tut mir leid. Dann habe ich das nicht gut formuliert.
In dem Beispiel wurden die fehlerhaften Teile auch über Stichproben ermittelt. Im Schnitt wurden über mehrere Monate pro Monat 880 Teile gerpüft, von denen im Schnitt 40 Teile fehlerhaft waren. Das macht 0,05% fehlerhafte Teile. Das hatte ich auf die Grundgesamtheit hochgerechnet: 7500*0,005=37,5 fehlerhafte Teile (also auch ca. 40 Teile). Dachte so kann ich eine Aussage über die Grundgesamtheit treffen.
Oder habe ich da einen Denkfehler? Ist das überhaupt richtig wie ich zu meiner Trefferwahrscheinlichkeit gekommen bin (Anzahl fehlerhafter/Grundgesamtheit=p)?

Dankeschön smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ISO3534
Im Schnitt wurden über mehrere Monate pro Monat 880 Teile gerpüft, von denen im Schnitt 40 Teile fehlerhaft waren. Das macht 0,05% fehlerhafte Teile. Das hatte ich auf die Grundgesamtheit hochgerechnet: 7500*0,005=37,5 fehlerhafte Teile (also auch ca. 40 Teile).

Deine Rechnungen sind abenteuerlich falsch. unglücklich

Wenn 40 von 880 Teilen fehlerhaft sind, dann ist das ein Anteil von ungefähr , was hochgerechnet auf 7500 Teile im Mittel 341 fehlerhaften Teilen entspricht.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich wollte ich auch was dazu schreiben, konnte aber keine richtige Frage erkennen.....und

Zitat:
Original von HAL 9000
Irgendwas ist an der Problemformulierung oberfaul:

hat mich nur bestätigt.

Zitat:

..."Vollkontrolle" ...
Big Laugh
 
 
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von ISO3534
Im Schnitt wurden über mehrere Monate pro Monat 880 Teile gerpüft, von denen im Schnitt 40 Teile fehlerhaft waren. Das macht 0,05% fehlerhafte Teile. Das hatte ich auf die Grundgesamtheit hochgerechnet: 7500*0,005=37,5 fehlerhafte Teile (also auch ca. 40 Teile).

Deine Rechnungen sind abenteuerlich falsch. unglücklich

Wenn 40 von 880 Teilen fehlerhaft sind, dann ist das ein Anteil von ungefähr , was hochgerechnet auf 7500 Teile im Mittel 341 fehlerhaften Teilen entspricht.


Da hast du natürlich absolut recht. Shit...unglücklich
Habe da alles durcheinander geworfen...Blicke da nicht mehr durch.

--> Fakten:
Grundgesamtheit 7500 produzierte Teile
Aus Stichproben der Vormonate geht hervor: bei 880 getesteten Teile wurden 40 fehlerhafte Teile gefunden.
Was muss ich nun tun um die Frage beantworten zu können: Wie viele produzierte Teile muss man mindestens prüfen, um zu mindestens 95% Sicherheit mindestens 40 fehlerhafte Teile bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von 4,5% zu finden?
(Ergibt die Frage überhaupt so Sinn?)

Kannst du mir da helfen. Ich verzweifel da gerade echt dran :/
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen von der unklaren Angabe: Noch etwas zu Poisson:
Mit der Formel wird die Wahrscheinlichkeit NICHT kumulativ berechnet, sondern diese gibt die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ereignisanzahl k im Einzelfall an.
In deinem Falle funktioniert dies also so nicht, denn es wären alle in Frage kommenden Wahrscheinlichkeiten zu addieren ...

Da die Umkehrung benötigt wird, ist dies manuell nicht mehr machbar, also bemüht man ein CAS (MatLab, Maple, Excel-Solver - z.B. poisson inverse cumulative distribution function).

Du kannst auch so wie von dir beschrieben vorgehen, also die Funktionen für Poisson oder NormVert mit den bekannten Parametern (kumulativ!) vorgeben und x solange variieren, bis die geforderte Wahrscheinlichkeit erreicht ist.
In Excel funktioniert dies sogar mit der Zielwertsuche oder dem Solver.

Da es sich um eine diskrete Verteilung handelt, sind die Ergebnisse ganzzahlig zu runden (korrigieren, STK)

------------------------

Deinen Post hatte ich zuvor noch nicht gesehen.
Ich denke, dass es jetzt so Sinn macht. Es kann somit mit einer kumulativen Normverteilung approximiert werden,
µ = 341, n = 7500, p = 0,0455; berechne damit V bzw s (sigma).
Die NORMINV-Funktion liefert dann für 0,95% einen Wert bei x = 371.

Wie schon beschrieben, kannst du dann auch mit der kumulativen Poisson-Funktion poisson(310; 341; true) prüfen, damit ergeben sich p(x<372)=0,95 bzw. p(x<311) = 0,048
Natürlich ist zur Probe dann auch das Resultat mit der Normverteilungsfunktion zu verifizieren.

[attach]47698[/attach]

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von ISO3534
Aus Stichproben der Vormonate geht hervor: bei 880 getesteten Teile wurden 40 fehlerhafte Teile gefunden.
Was muss ich nun tun um die Frage beantworten zu können: Wie viele produzierte Teile muss man mindestens prüfen, um zu mindestens 95% Sicherheit mindestens 40 fehlerhafte Teile bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von 4,5% zu finden?
(Ergibt die Frage überhaupt so Sinn?)

Die Frage ergibt durchaus Sinn. Du hast das ja auch ganz zu Anfang korrekt auf die Gleichung



zurückgeführt. Wenn man Teile prüft, ergibt sich die Wahrscheinlichleit für defekte Teile aus der Binomialverteilung. Auch das steht schon bei dir.

Wenn man nun kein CAS bemühen möchte oder keins zur Verfügung hat, bietet sich die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung an (Mythos). Dann genügt eine Tabelle der inversen Standardnormalverteilung und zur Not auch eine Tabelle der Standardnormalverteilung. Es sei und seien die Verteilungsfunktionen der Binomialverteilung, Normalverteilung und Standardnormalverteilung. Man hat



Der Übergang von 39 auf 39.5 ist die sogenannte Stetigkeitskorrektur, die die Näherung einer diskreten Verteilung durch eine stetige Verteilung verbessert. Man löst jetzt die Gleichung



bzw.



Entnimmt man einer Tabelle der inversen Standardnormalverteilung oder der Normalverteilung, genügt zur Lösung der letzten Gleichung ein einfacher Taschenrechner.

Zur Kontrolle: Ich komme so auf , also . Damit kann man im Nachhinein prüfen, dass die Näherung durch die Normalverteilung berechtig war. Mit der Binomialverteilung ergibt sich .
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmpf!
Wie ich gerade sehe, hatte ich bei dieser Rechnung eine andere Interpretation des Textes im Sinn ...

mY+
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von Huggy
Die Frage ergibt durchaus Sinn. Du hast das ja auch ganz zu Anfang korrekt auf die Gleichung

...


Puh. Vielen Dank Big Laugh
Nach langem Probieren und Nachvollziehen bin ich auch auf das Ergebnis gekommen ! Big Laugh

Zum Nachvollziehen auch für andere, die das mal suchen sollten:

--> gegeben ist:



--> man kann sich sofort ausrechnen:
Mittelwert:
Standardabweichung:

Ich habe gelernt, dass man aufgrund der Laplace-Bedingung ab die Binomialverteilung durch die Normal- bzw Standardnormalverteilung annähern kann.

--> da mindestens 40 gefordert sind definiere ich um zu berechnen

--> Mit der -Tabelle und der Gegenwahrscheinlichkeit zu 95% kann man wie Huggy geschrieben hat aus der inversen Standardnormalverteilungs Tabelle den Wert für ablesen.

--> So kommt man zur Fomel von Huggy:
mit und \sigma= \sqrt{n*p*(1-p)}

--> eingesetzt:


--> nach n umgeformt:


Zitat:
Original von Huggy
Zur Kontrolle: Ich komme so auf , also . Damit kann man im Nachhinein prüfen, dass die Näherung durch die Normalverteilung berechtig war. Mit der Binomialverteilung ergibt sich .


Wie hast du das allerdings mit der Binomialverteilung gemacht?

Ich hoffe das stimmt soweit und dass ich das richtig verstanden habe. Wenn nicht bin ich über jede weitere Hilfe froh smile
Danke Euch allen!
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von mYthos
Abgesehen von der unklaren Angabe: Noch etwas zu Poisson:
Mit der Formel wird die Wahrscheinlichkeit NICHT kumulativ berechnet, sondern diese gibt die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ereignisanzahl k im Einzelfall an.
In deinem Falle funktioniert dies also so nicht, denn es wären alle in Frage kommenden Wahrscheinlichkeiten zu addieren ...

Da die Umkehrung benötigt wird, ist dies manuell nicht mehr machbar, also bemüht man ein CAS (MatLab, Maple, Excel-Solver - z.B. poisson inverse cumulative distribution function).

Du kannst auch so wie von dir beschrieben vorgehen, also die Funktionen für Poisson oder NormVert mit den bekannten Parametern (kumulativ!) vorgeben und x solange variieren, bis die geforderte Wahrscheinlichkeit erreicht ist.
In Excel funktioniert dies sogar mit der Zielwertsuche oder dem Solver.

Da es sich um eine diskrete Verteilung handelt, sind die Ergebnisse ganzzahlig zu runden (korrigieren, STK)

------------------------

Deinen Post hatte ich zuvor noch nicht gesehen.
Ich denke, dass es jetzt so Sinn macht. Es kann somit mit einer kumulativen Normverteilung approximiert werden,
µ = 341, n = 7500, p = 0,0455; berechne damit V bzw s (sigma).
Die NORMINV-Funktion liefert dann für 0,95% einen Wert bei x = 371.

Wie schon beschrieben, kannst du dann auch mit der kumulativen Poisson-Funktion poisson(310; 341; true) prüfen, damit ergeben sich p(x<372)=0,95 bzw. p(x<311) = 0,048
Natürlich ist zur Probe dann auch das Resultat mit der Normverteilungsfunktion zu verifizieren.

[attach]47698[/attach]

mY+


Danke mYthos!
Kannst du mir die hinterlegten Formeln dazu zeigen?
Hab das noch nicht nachvollziehen können :/

LG
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von ISO3534
Ich hoffe das stimmt soweit und dass ich das richtig verstanden habe.

Bis auf eine kleine Nachlässigkeit ist das alles korrekt. Statt

Zitat:

sollte es



heißen. Der kleine Unterschied zu meinem Ergebnis beruht auf Rundungen.

Zitat:
Wie hast du das allerdings mit der Binomialverteilung gemacht?

Ich benutze Mathematica. Das kann auch für große mit der Binomialverteilung umgehen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mein letzter Post betraf die Berechnung einer bestimmten Zufallsvariablen x aus einer gegebenen Anzahl n (7500) und der dazu angegebenen Wk von 0,05 bzw. 0,95 bei Normalverteilung (µ = 341, s = 19,..)
D.h. n ist hier fest geblieben und ich hatte die 40 nicht berücksichtigt.

Diese Berechnung kann in Excel mit (abgesehen von Anpassung mittels STK) umgehend durchgeführt werden und liefert eben x = 310, bei immer noch gleich gebliebenen n = 7500.
Die Funktion kehrt übrigens immer nur kumulierte Wahrscheinlichkeiten um und liefert nicht ein sondern die Variable , für die die gegebene WK zutrifft.

[attach]47705[/attach]
-------------------------

Nun zum konkreten Beispiel, welches Huggy (mittels NV-Approx.) klassisch schön berechnet bzw. erklärt hat.
Dabei bleibt n = 7500 nicht mehr erhalten, denn wir suchen nun jenes (bei gegebener Erfolgs-Wk von p = 0,05, x (40) d.i. Anzahl der Versuche, n Gesamtheit,Versuche - hier zu berechnen, und TRUE bzw. 1 für kumulierte Wk), für das p(X=39) = 0,05 ist.
Dazu gibt es nun tatsächlich keine Umkehrfunktion, weder bei der BV noch bei der NV.
Wir werden daher in Excel mit einer Iteration (Zielwertsuche) arbeiten und können natürlich gleich die BV nehmen: , p .. ErfolgsWk., 1 .. TRUE, kumuliert.
Die Zielwertsuche ist ein in Excel integriertes Add-In und macht das, was du schon beschrieben hast, den zu verändernden Zelleninhalt solange zu variieren, bis das das zu erzielende Ergebnis (Zielwert in der Zielzelle) erreicht ist.
Allerdings muss die Konvergenz gesichert sein. Wähle den Startwert in der Zielzelle nicht zu weit von dem geschätzten Wert entfernt, andernfalls gibt es (wegen der fehlenden Konvergenz) keine oder eine völlig falsche Lösung.
Manuell wäre das sehr mühsam, aber die Zielwertsuche macht tausende Schritte in Sekundenbruchteilen. In der Zielzelle muss eine Formel stehen.
Findest du im Menü die Zielwertsuche nicht, so sind im Menü "Add-Ins" die beiden Add-Ins "Analysefunktionen" und "Solver" zu aktivieren.

[attach]47707[/attach]

Wie man sieht, bestätigt die kurze Rechnung das Resultat n = 1115 in der BV, bei NV-Approximation ist n = 1122 mit STK (39+0,5)

mY+
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Super, vielen Dank Euch! Habe jetz mit eurer Hilfe mir eine kleine Excel gebastelt, in der man die gewünschten Anzahlen und Sicherheiten eingeben kann und dann alles schön vorgerechnet wird smile

Als nächsten Schritt habe ich mich an einer Tabelle versucht die eine "Schlupf" Übersicht bieten soll.
Schlupf heißt in dem Fall: Es sollen die Anzahl der fehlerhaften Produkte tabellarisch aufgezeigt werden, die man nicht findet (also der Schlupf). Und das in einer Tabelle mit variabler Sicherheit und variabler Prüfanzahl.

Ich weiß, das ist wahrscheinlich wieder keine klare Aufgabenstellung, ich weiß allerdings nicht wie ich es besser ausdrücken kann, weil ich noch nicht 100% weiß wie die Tabelle am Ende auszusehen hat. Deswegen wollte ich Euch mal fragen, ob ihr eine Idee habt oder es es sowas für andere Anwendungen eh schon gibt.

Meine Überlegungen dazu:
--> Größen, die meiner Meinung nach rein sollten: Prüfanzahl, Anzahl fehlerhaft gefundener Produkte, Trefferwahrscheinlichkeit, Schlupfanzahl, Sicherheit/ Konfidfenz

--> variabel sollten die Prüfanzahl und die Sicherheit/ Konfidenz sein (n= 250, 500, 750, ... 7500 und p=85%, 90%, 92,5%, 95%, ... 99,9%)

--> Bin dann auf die - und -Fehler gestoßen, was sich auch erstmal passend angehört hat. (Fehler 2. Art: Produkt ist fehlerhaft, wird aber nicht gefunden - Schlupf). Ich weiß allerdings nicht, wie ich das mit variablen Größen in eine sinnvolle Tabelle kriege

Ich habe schon mehere Kombinationen in Tabellenform getestet, aber nie eine sinnvolle Übersicht hinbekommen, da ich auch nicht weiß wie ich auf die Schlupfanzahl komme. Mir wurde gesagt, dass es wohl so eine Standard Tabelle in der Statistik-Welt sei...Konnte ich bis jetzt allerdings noch nicht nachvollziehen... (Die Person weiß selber nicht wo die Theorie dazu zu finden sein soll).
Ich dachte, dass wenn ich ein Konfidenzintervall von 95% festlege, dass die anderen 5% (jeweils 2,5% links und rechts in grafischer Form) der Schlupf sind. Aber da habe ich bestimmt etwas falls verstanden, oder?

Wäre über Eure Hilfe und Ideen nochmal dankbar.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von ISO3534
Schlupf heißt in dem Fall: Es sollen die Anzahl der fehlerhaften Produkte tabellarisch aufgezeigt werden, die man nicht findet (also der Schlupf). Und das in einer Tabelle mit variabler Sicherheit und variabler Prüfanzahl.

Was du mit Schlupf meinst und welche Situation du betrachtest, musst du näher definieren. Mir ist es nicht klar. Zwei Interpretationen fallen mir ein:

a) Aus einer Gesamtmenge wird eine Teilmenge geprüft. Die Prüfung ist exakt. Das heißt, ein defektes Teil wird mit Sicherheit als defekt erkannt. Ein intaktes Teil wird mit Sicherheit als intakt erkannt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mit der sich in der nicht geprüften Menge eine bestimmte Anzahl defekter Teile befindet.

b)Wie vorher, aber die Prüfung ist nicht exakt. Das heißt, es gibt eine Wahrscheinlichkeit, dass bei der Prüfung ein defektes Teil nicht entdeckt wird und eine weitere Wahrscheinlichkeit, dass ein intaktes Teil bei der Prüfung als defekt deklariert wird.

Vielleicht meinst du aber noch etwas anderes.
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Hi Huggy,

Beide Fälle sind super formuliert!
Primär geht es mir um Fall a).
Fall b) hört sich allerdings auch sehr interessant an und passt wahrscheinlich sehr gut zu den Fehlern 1. und 2. Art.

Daraus ergeben sich dann auch zwei Varianten der Schlupf-Definition:
a) Schlupf... bezeichnet die Menge an Teilen, die sich in der Grundgesamtheit befinden, nicht innerhalb einer Stichprobe überprüft wurden und defekt sind

b) Schlupf... bezeichnet die Menge an Teilen, die fälschlicherweise als intakt innerhalb der Stichprobe geprüft wurden, aber defekt sind

zu a)

--> Welche Größen benötigt man dafür?
Grundgesamtheit , Teilmenge , Trefferwahrscheinlichkeit und welche noch?

--> Wie kann man denn von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen? (für ein konkretes Beispiel: ,, mit defekten Teilen (Erfahrungswert der Vormonate) ergibt sich )

--> Kann man da ein Konfidenzintervall "einbauen", sodass man eine tabellarische Übersicht für verschiedene Sicherheiten erhält?

zu b)

--> Welche Größen benötigt man dafür?
Grundgesamtheit , Teilmenge , Trefferwahrscheinlichkeit und eine Sicherheit ?

--> Gibt es ein Schema nach dem ich sowas berechnen kann und eine Möglichkeit daraus wieder auf die Grundgesamtheit zu schließen?

Ich freue mich immernoch über die zwei so treffend formulierten Interpretationen. Danke smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von ISO3534
zu a)

--> Welche Größen benötigt man dafür?
Grundgesamtheit , Teilmenge , Trefferwahrscheinlichkeit und welche noch?


Das reicht schon. Die nicht geprüfte Restmenge hat dann den Umfang . Die defekten Teile sind in ihr auch binomialverteil mit Parameter . Mit ihr kannst du Wahrscheinlichkeiten wie





für diese Restmenge bestimmen. kann bei einer stabilen Fertigung bekannt sein. Ist dies nicht der Fall, kann man aus der geprüften Teilmenge einen Schätzwert für bestimmen.

Zitat:
--> Wie kann man denn von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen? (für ein konkretes Beispiel: ,, mit defekten Teilen (Erfahrungswert der Vormonate) ergibt sich )--> Kann man da ein Konfidenzintervall "einbauen", sodass man eine tabellarische Übersicht für verschiedene Sicherheiten erhält?


Aus einer Stichprobe kann man auch ein Konfidenzintervall für den Parameter bestimmen. Google nach "Konfidenzintervall Binomialverteilung".

Geht man von einer stabilen Fertigung aus, kann man dabei frühere Stichproben mit der aktuellen Stichprobe zu einer großen Stichprobe zusammenfassen. Geht man dagegen nicht von einer stabilen Fertigung aus, wird man für das Konfidenzintervall nur die aktuelle Stichprobe verwenden. Das ist aber keine Frage der Mathematik, sondern eine Frage zum Kenntnisstand über die Fertigung.

Den Fall b) stelle ich erst mal zurück.
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Habe mich mal daran versucht:

--> gegeben:
, Anzahl defekter Teile in Grundgesamtheit

--> erste Berechnungen:
Grundgesamtheit ohne Stichprobengröße:

Erwartungswert für :

Standardabweichung:

- Standardabweichung ist größer 3

--> jetzt möchte ich eine Aussage für eine Sicherheit von 95% (fürs Erste) treffen:
P(X=K)=0,95 mit Hilfe der inversen Standardnormalverteilungstabelle komme ich auf ein

Konfidenzintervall: []

--> Antwort:
Mit einer Sicherheit von 95% weicht die Anzahl defekter Teile in der Grundgesamtheit um höchstens Teile ab.

Oder

Die Anzahl defekter Teile in der Grundgesamtheit liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% in dem Intervall .
_______________________________________________________________________

Wäre das erstmals so richtig?

Ist es jetzt möglich daraus eine Tabelle zu machen in der ich einfach unterschiedliche Sicherheiten (90% bis 99,99% bspw.) aufzeigen. Könnte das eine Übersicht über den Schlupf sein?

Dankeschön smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Hurra, das Matheboard funktioniert wieder.

Zitat:
Original von ISO3534
Die Anzahl defekter Teile in der Grundgesamtheit liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% in dem Intervall .

Du hat dir beim Zielen Mühe gegeben, aber mangels Erfahrung, wie man Windrichtung und -geschwindigkeit berücksichtigt, doch deutlich das Ziel verfehlt.

Bei einer standardnormalverteilten Zufallsgröße gilt





Das wurde oben verwendet. Jetzt suchst du da aber



Das erfordert wegen der Symmetrie der Normalverteilung



Also



Die 1.65 in deiner Rechnung sind also durch 1.96 zu ersetzen. Dann ist die Zahl der defekten Teile in der geprüften Menge ja exakt bekannt. Es sind 40. Eine Unsicherheit gibt es nur für die nicht geprüfte enge . Es ist daher auch nur die Standardabweichung bezogen auf die ungeprüfte Menge zu verwenden. Richtig ist daher:

Die Anzahl defekter Teile in der Grundgesamtheit liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% in dem Intervall

Zitat:
Ist es jetzt möglich daraus eine Tabelle zu machen in der ich einfach unterschiedliche Sicherheiten (90% bis 99,99% bspw.) aufzeigen. Könnte das eine Übersicht über den Schlupf sein?

Nein. Der Schlupf war ja nach meiner Definition die Zahl der nicht entdeckten defekten Teile. Da wären also die 40 entdeckten Teile nicht einzurechnen. Andere Wahrscheinlichkeiten solltest du jetzt problemlos verwenden können.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dahingehend habe ich die zuerst veröffentlichte XLS-Tabelle entfernt und diese hier entsprechend angepasst.

In der nunmehr editierten Tabelle kann zu jeder beliebig gewählten Wkeit durch Überschreiben der Zelle B3 das zugehörige Intervall berechnet werden.
Hier kann man auch gut die 1s-, 2s- und 3s- Umgebung (68.3%, 95.4%, 99.7%) [letzter %-Wert editiert] testen.

Der Wert von 40 wurde als Offset eingeführt und berücksichtigt.

[attach]47734[/attach]

Fallst du an dem XLS interessiert bist, kannst du es hier herunterladen:

[attach]47735[/attach]

mY+
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Die 1.65 in deiner Rechnung sind also durch 1.96 zu ersetzen.


Das hört sich logisch an. Hatte ich nicht dran gedacht. Habs angepasst.

Zitat:
Die Anzahl defekter Teile in der Grundgesamtheit liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% in dem Intervall [40+(301&#8722;1.96&#8727;16,96;301+1,96&#8727;16.96)]&#8776;[308;374]


Das stimmt natürlich. Habe in meiner Excel den Antworttext "...Anahl defekter Teile in der nicht getesteten Menge..." und nicht " ...der Grundgesamtheit..." drin. Habe ich falsch übernommen sorry.

Zitat:
In der nunmehr editierten Tabelle kann zu jeder beliebig gewählten Wkeit durch Überschreiben der Zelle B4 das zugehörige Intervall berechnet werden.


Sehr cool. Danke mYthos.

--> Ich habe gesehen, dass du die Intervallgrenzen mit der NORMINV-Funktion berechnest. ich habe bis jetzt die Formel verwendet. Ist das falsch? Ich komme so auch auf andere Grenzen.

--> Ich möchte gerne eine Tabelle dieser Art erstellen:
[attach]47736[/attach]

Dabei sollen in "Testzahlen min." und "Testzahlen max." die jeweiligen Testanzahlen drin stehen, die man durchführen muss, um alle defekten Teile (untere und obere Grenze separat) mit einer Sicherheit von 95% in der nicht getesteten Menge zu finden.

Ich habe es wieder mittels der Zielwertsuche-Funktion versucht, allerdings erhalte ich dann Anzahlen, die über die Grundgesamtheit hinaus gehen. Was mache ich falsch?

Mein Ansatz:
In einer Hilfsspalte steht mein P (Zielwert, welcher 0,05 erreichen soll) mit BINOMVERT und in der "Testanzahl min." Spalte ist mein n (veränderbar, um auf mein P=0,05 zu kommen).

Meine BINOMVERT arbeitet mit den Argumenten: wobei variabel ist und durch die Zielwertsuche errechnet werden soll und die untere Grenze des Intervalls sein soll, also wie viele defekte Teile mindestens gefunden werden müssen.

Als Ergebnis nach der Zielwertsuche erhalte ich dann Anzahlen, die getestet werden müssen, um mit 95 % Sicherheit alle defekten Teile in der nichtgetesteten Restmenge der Grundgesamtheit zu finden, die größer als die Anzahl der nicht getesteten Teile selber ist.

Ich weiß nicht was ich dabei falsch mache. Hoffe das war einigermaßen verständlich. Habt ihr eine Idee?

Besten Gruß
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte Poisson oder Bernoulli Verteilung
Zitat:
Original von ISO3534
--> Ich habe gesehen, dass du die Intervallgrenzen mit der NORMINV-Funktion berechnest. ich habe bis jetzt die Formel verwendet. Ist das falsch? Ich komme so auch auf andere Grenzen.


Ich hab gesehen, dass das Quatsch ist. Entschuldigt bitte.

(Konnte leider nicht mehr editieren...)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Fehler:

Ich habe mir bei deinem Screenshot beispielsweise die Zeile 95% angesehen:
Du musst zuerst die z-Werte* für 0.025 bzw. 0.975 heranziehen (siehe auch, wie es Huggy schon geschrieben hat), dann die Formel verwenden.

(*) Diese sind in Excel mittels der Funktion STANDNORMINV(P) oder NORMINV(P; 0; 1) zu ermitteln, will man nicht die Tabelle bemühen.
Natürlich bietet sich dann gleich, wie schon gezeigt, NORMINV(P; µ; s) ohne Umwege an, somit werden in einem CAS Phi und Z nicht mehr benötigt..

mY+
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Natürlich bietet sich dann gleich, wie schon gezeigt, NORMINV(P; µ; s) ohne Umwege an, somit werden in einem CAS Phi und Z nicht mehr benötigt..


Super, hab ich so übernommen, das spart Zwischenschritte smile

Habe mich nochmal an der Zielwertsuche probiert um rauszufinden, wie viele Teile geprüft werden müssen um die Intervallgrenzen der defekten Teile zu finden (untere/ obere Grenze). Das ist mein Setting:

[attach]47748[/attach]

In der Spalte R ist die Zielzelle drin, die nach der Zielwertsuche den Wert für die -Zeile von annehmen soll. Und in Spalte S ist die durch die Zielwertsuche veränderbare Anzahl drin, also das Ergebnis, welches meine gesuchte Größe ist.

[attach]47749[/attach]

Wenn ich nun den Zielwert eingebe und die veränderbare Zelle angeben kommt folgendes raus:

[attach]47750[/attach]

Der Zielwert ist ja noch nicht mal nahe an der dran. Und dementsprechend ist denke ich mal auch das gefundene viel zu groß.
Seht ihr was da falsch sein könnte?

Danke smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da mYthos, der sich mit Excel sehr viel besser auskennt als ich, dir bisher nicht geantwortet hat, habe ich mir die Sache mal angesehen. Dabei fiel mir auf, dass ich nicht ganz verstehe, was aktuell dein Ziel ist.

Zitat:
Original von ISO3534
Habe mich nochmal an der Zielwertsuche probiert um rauszufinden, wie viele Teile geprüft werden müssen um die Intervallgrenzen der defekten Teile zu finden (untere/ obere Grenze). Das ist mein Setting:

Die Intervallgrenzen hast du schon. Willst du z. B. wirklich berechnen, wieviel Teile man prüfen muss, um bei einer Defektwahrscheinlichkeit von 40/880 mindesten 245 defekte Teile zu finden und das mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99,9 %?

Falls ja, kommt da natürlich eine recht hohe Zahl heraus, aber 29160 ist deutlich zu groß. Mit etwas Probieren habe ich herausgefunden, dass Excel bei der Zielwertsuche anscheinend auf die absolute Genauigkeit achtet und nicht auf die relative Genauigeit, was sinnvoller wäre. Da der Zielwert 0,001 absolut schon einigermaßen klein ist, gibt sich Excel offenbar nicht mehr viel Mühe, ihn relativ genau zu treffen. Zudem ist dein Anfangswert weit von der Lösung entfernt, was auch nicht gut ist. Wenn man nun in die Zielzelle 100*Binomialverteilung eingibt und dann als Zielwert 0,1 statt 0,001 arbeitet Excel schon viel besser. Mit z. B. dem Anfangswert ist das Ergebnis schon brauchbar. Mein altes Excel spuckt dann 6514,4 aus. Nach Mathematica sollte der exakte Wert 6516 sein.Wenn der Zielwert in Excel nicht gut erreicht wird, kann man die Zielwertsuche auch iterieren, also die ausgegeben Lösung als neuen Anfanfswert verwenden, um eventuell zu einer besseren Lösung zu kommen.

Außerdem wäe zu beachten, dass aus über die Gegenwahrscheinlichkeit ja wird. Zur Vergleichbarkeit mit deiner Rechnung habe ich in meiner Rechnung die 245 stehen gelassen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy, danke für die Antwort, ich war am WE kaum verfügbar ...
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Anstatt der Zielwertsuche kann in Excel auch der Solver herangezogen, damit lassen sich zusätzlich noch Randbedingungen und die Genauigkeit besser einstellen.
Der Solver funktioniert ähnlich wie die Zielwertsuche, versuche es mal damit.
Falls dieser im Menü nicht verfügbar sein sollte, kann er mittels Analysefunktionen aktiviert werden.

Da ich heute auch wieder unterwegs bin, kann ich mich erst später mit der Problematik befassen (falls erforderlich).

mY+
ISO3534 Auf diesen Beitrag antworten »
Stichprobenumfangsformel
Hi Ihr,

bin bei der weiteren Suche nach Möglichkeiten der Stichprobengrößen Berechnung auf eine Formel gestoßen. Ihr hattet mir damals empfohlen, dass näherungsweise über eine Zielwertsuche einer Binomialverteilung in Excel zu machen. Kann ich dafür auch folgende Formel verwenden?



Mit N= Grundgesamtheit e=Fehlerbereich (Konfidenzintervall) z= Konfidenzniveau (als z-Wert) p= Auftrittswahrscheinlichkeit

Quelle ist eine Umfrage-Website. Leider konnte ich diese Formel nirgends wo anders finden. Kennt ihr die und wisst, ob man die für eine Bernoulli Versuchsreihe (defekt/ nicht defekt) verwenden kann?

Viele Grüße!
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