Ein Beweis mithilfe des Satzes über implizite Funktionen

18.07.2018, 20:47

Froscgi

Ein Beweis mithilfe des Satzes über implizite Funktionen

Meine Frage:
Ich schreibe demnächst meine Analysis 2 Klausur und habe gefühlt von Beweisen keine Ahnung und auch meistens keine Ansätze. Deshalb versuche ich zu üben.
Meine Aufgabe lautet:
Betrachten Sie für x,y in IR die Gleichung y^3 - y = x
Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen, dass eine Umgebung U von x = 0 und eine stetig differenzierbare Funktion y*: U -> IR existieren, sodass für alle x in U
y*^3(x) - y*(x) = x

Meine Ideen:

Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann habe ich für den Satz die Bedingungen, dass ich eine stetige Funktion habe die für x0,y0 Null ist und deren partiellen Ableitungen existieren und sind stetig und in x0,y0 regulär,
dann erhalte ich eine funktion y* mit der f(x,y*(x))=0 und y* stetig und differenzierbar, wenn f stetig diffbar. Und das alles gilt auf einer epsilon-Kugel (was einer Umgebung zu entsprechen scheint)

Würde ich mir dann jetzt aus der Gleichung irgendwie eine Funktion definieren, auf die ich dann den Satz werfe?

Es tut mir leid, dass ich keine eigenen Ansätze habe, aber ich bin leider echt planlos. Und irgendwie haben die Latex befehle nicht funktioniert.

19.07.2018, 09:43

Huggy

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RE: Ein Beweis mithilfe des Satzes über implizite Funktionen

Zitat:

Original von Froscgi
Meine Frage:
Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann habe ich für den Satz die Bedingungen, dass ich eine stetige Funktion habe die für x0,y0 Null ist und deren partiellen Ableitungen existieren und sind stetig und in x0,y0 regulär,
dann erhalte ich eine funktion y* mit der f(x,y*(x))=0 und y* stetig und differenzierbar, wenn f stetig diffbar. Und das alles gilt auf einer epsilon-Kugel (was einer Umgebung zu entsprechen scheint)

Die entscheidende Bedingung für die lokale Existenz der Funktion $\begin{eqnarray*} y^*(x) \end{eqnarray*}$ hast du weggelassen. Es muss in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial y} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Oder hast du das mit "regulär" gemeint?

Zitat:

Würde ich mir dann jetzt aus der Gleichung irgendwie eine Funktion definieren, auf die ich dann den Satz werfe?

Ja. Die Gleichung schreibst du in der Form $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ hin. In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} f(x,y)=y^3-y-x \end{eqnarray*}$ . Auf diese Funktion wendest du den Satz an.

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