Holomorphe Fortsetzung Gammafunktion

19.07.2018, 11:18

Tom13

Holomorphe Fortsetzung Gammafunktion

Meine Frage:
Ich lese gerade etwas über die Fortsetzung der Gammafunktion. Zuerst wird diese über das bekannte Integral $\begin{eqnarray*} \Gamma (s) = \int_{0}^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt \end{eqnarray*}$ für Re(s)>0 definiert.
Mit partieller Integration zeigt man dann $\begin{eqnarray*} \Gamma (s+1) =s \cdot \Gamma (s) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt wird gesagt, dass man mit dieser Gleichung die Gammafunktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \backslash \{ 0, -1, -2, ... \} \end{eqnarray*}$ holomorph fortsetzen kann.

Klar, ich könnte z.B. für -1<Re(s)<=0, $\begin{eqnarray*} s \neq 0 \end{eqnarray*}$ definieren $\begin{eqnarray*} \Gamma (s) = \frac{\Gamma (s+1)}{s} \end{eqnarray*}$ usw. Aber was garantiert mir, dass die so definierte Funktion wirklich holomorph ist?

Meine Ideen:

19.07.2018, 15:42

Huggy

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RE: Holomorphe Fortsetzung Gammafunktion

Zitat:

Original von Tom13
Aber was garantiert mir, dass die so definierte Funktion wirklich holomorph ist?

Das ergibt sich simpel aus der Definition von holomorph und den Ableitungsregeln. Es seien $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ zwei komplxe in einem offenen Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ holomorphe, also dort komplex differenzierbare Funktionen. Dann ist in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auch die Funktion

$\begin{eqnarray*} h(z)=\frac {f(z)}{g(z)} \end{eqnarray*}$

komplex differenzierbar mit Ausnahme der Stellen mit $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ .

19.07.2018, 16:16

Tom13

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Wen ich das richtig verstehe, kann ich mit dieser Regel doch nur zeigen, dass die Funktion im Gebiet -1<Re(s)<0 holomorph ist (denn nur dort habe ich die Funktion ja durch diesen Quotienten definiert).
In Re(s)>0 hat man ebenfalls Holomorphie.
Was ist aber mit dem "Übergang" zwischen diesen beiden Gebieten, d.h. Re(s)=0, $\begin{eqnarray*} s \neq 0 \end{eqnarray*}$ ? Warum ist die Gammafunktion dort komplex differenzierbar?

19.07.2018, 16:32

Huggy

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Die Definition

$\begin{eqnarray*} \Gamma (s) = \frac{\Gamma (s+1)}{s} \end{eqnarray*}$

kann man doch auch für $\begin{eqnarray*} Re(s)=0, s \neq 0 \end{eqnarray*}$ benutzen. Die Holomorphie ergibt sich mit derselben Begründung wie vorher.

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