Linienintegral eines Vektorpotentials

19.07.2018, 11:30

Wölkchen56

Linienintegral eines Vektorpotentials

Meine Frage:
Hallo!
Ich muss das Linienintegral über das Vektorpotential F(rvektor)= Nabla * (1/r) mit r=(x,y,z)

1. in einer Kreisbahn C1=(cos(t),sin(t),0) und
2. als Spirale C2=(t*cos(t),t*sin(t),0)

im Bereich von Pi bis 3 Pi

bestimmen.

Ich habe Probleme damit die Parametrisierte Form des Feldes aufzustelle, da immer sehr wüste Sachen bei mir heraus kommen.

Meine Ideen:
Ich habe zunächst das Potential genauer berechnet. Da es ja lediglich vom Abstand r abhängt habe ich Nabla*f(r)=f`(r)*(rvektor/r) benutzt und kam auf 1/r^3 * (rvektor/r) ?! Da bin ich mir schon nicht sicher ob das so richtig ist...
Wenn ich das dann ausmultipliziere und die Kurve einfüge und dann skalar dr/dt multipliziere ist es fast unmöglich da schriftlich von eine Stammfunktion zu bilden... Auch wenn ich das mit Rechnern im Internet mache kommen so seltsame Sachen heraus, dass das eigentlich gar nicht sein kann.

Da die Rotation ja durch das Potential Null ist (?!) ist das Linienintegral des Kreises ja sowieso null, falls ich das richtig verstehe. Das hilft mir nur leider für die Spirale und das Vektorpotential nicht weiter...

19.07.2018, 16:00

Huggy

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RE: Linienintegral eines Vektorpotentials

Zitat:

Original von Wölkchen56

Ich habe zunächst das Potential genauer berechnet. Da es ja lediglich vom Abstand r abhängt habe ich Nabla*f(r)=f`(r)*(rvektor/r) benutzt und kam auf 1/r^3 * (rvektor/r) ?! Da bin ich mir schon nicht sicher ob das so richtig ist...

Wenn ich deine Notation richtig interpretiere, bist du auf

$\begin{eqnarray*} \nabla (\frac 1 r) = \frac {1}{r^3}\frac {\vec r}{r} \end{eqnarray*}$

gekommen. Das ist nicht richtig. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \nabla (\frac 1 r) = -\frac {1}{r^2}\frac {\vec r}{r} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn ich das dann ausmultipliziere und die Kurve einfüge und dann skalar dr/dt multipliziere ist es fast unmöglich da schriftlich von eine Stammfunktion zu bilden...

Da du deine Rechnung nicht hingeschrieben hast, kann man dazu nichts sagen. Tatsächlich kommt da in beiden Fällen etwas recht einfaches heraus. Schreib mal deine Rechnung auf, möglichst in Latex. Wenn du bei meiner Antwort auf Zitat klickst, siehst du die Latexschreibweise meiner Formeln. Der Formeleditor kann dir auch helfen.

19.07.2018, 20:12

Wölkchen56

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RE: Linienintegral eines Vektorpotentials
kommt, wenn ich $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\vec{r} }{r} \end{eqnarray*}$ ausmultipliziere nicht $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{r^3} \cdot \vec{r} \end{eqnarray*}$ heraus? das meinte ich habe mich verschrieben... r ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+ y^2+ z^2} \end{eqnarray*}$ und wenn ich darein dann meine Kurve für x,y,z einfüge kommt bei mir für den Kreis z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{F} \left(\vec{r} \right) = \frac{- 1}{\cos(t)^4+ \sin(t)^4+ 2\cdot \cos(t)\cdot \sin(t) } \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus, entweder habe ihc da irgendwo einen Fehler gemacht, oder ich bin einfach nur zu blöde damit weiter zu rechen... wobei bei dem Kreis ja sowieso 0 raus kommt wenn ich das Integral bestimme...

Danke übrigens für den Tipp mit dem Zitat, habe vorher die Eingabe nicht richtig hinbekommen.

19.07.2018, 20:15

Wölkchen56

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RE: Linienintegral eines Vektorpotentials
bzw $\begin{eqnarray*} \vec{F} \left(\vec{r} \right) = \frac{- 1}{\cos(t)^4+ \sin(t)^4+ 2\cdot \cos(t)^2\cdot \sin(t)^2 } \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe die hoch 2 vergessen

19.07.2018, 21:04

Huggy

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RE: Linienintegral eines Vektorpotentials
Das ist weder $\begin{eqnarray*} \vec F(\vec r) \end{eqnarray*}$ noch das gesuchte Kurvenintegral. Klamüsern wir die Sache mal auseinander. Das Kurvenintegral von $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ über eine Kurve $\begin{eqnarray*} \vec r(t) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ berechnet man als

$\begin{eqnarray*} I=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec F(\vec r(t) \cdot \vec r'(t) dt \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} \vec F(\vec r)=-\frac {\vec r}{r^3}=(-\frac {x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 3 2}},-\frac {y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 3 2}},-\frac {z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 3 2}}) \end{eqnarray*}$

Die erste Kurve ist

$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t))=((\cos t, \sin t,0) \end{eqnarray*}$

Um $\begin{eqnarray*} \vec F(\vec r(t) \end{eqnarray*}$ zu bekommen, ist also $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überall in $\begin{eqnarray*} \vec F(\vec r) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \cos t \end{eqnarray*}$ zu ersetzen, $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \sin t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Das ergibt für $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$ ein einfaches Ergebnis. Aber $\begin{eqnarray*} \vec F(\vec r(t) \end{eqnarray*}$ ist nach wie vor ein Vektor. Jetzt mach du mal weiter. Wie lautet $\begin{eqnarray*} \vec F(\vec r(t) \end{eqnarray*}$ ? Wenn du das hast, ist dieser Vektor skalar mit der Ableitung von $\begin{eqnarray*} \vec r(t) \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren. Was ergibt sich?

19.07.2018, 21:28

Wölkchen56

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RE: Linienintegral eines Vektorpotentials
aah habe meinen Fehler gefunden. Ich habe angenommen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2+z^2} ^{3} = (x^2+y^2+z^2)^2 \end{eqnarray*}$ ist... wenn ich das so einfüge komme ich auf (
$\begin{eqnarray*} - \frac{\cos(t) }{\left(\cos(t)^2+ \sin(t)^2 \right)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} - \frac{\sin(t) }{\left(\cos(t)^2+ \sin(t)^2 \right)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ , 0) was dann mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} - \sin(t) \\ \cos(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziert $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(t)\cdot \sin(t) }{\left(\cos(t)^2+ \sin(t)^2 \right)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \frac{\sin(t)\cdot \cos(x) }{\left(\cos(t)^2+ \sin(t)^2 \right)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ =0 ergäbe... würde es dann so stimmen?

19.07.2018, 21:36

Huggy

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RE: Linienintegral eines Vektorpotentials
Das stimmt, obwohl du eine Vereinfachung übersehen hast. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \sin^2 t + \cos^2 t=1 \end{eqnarray*}$ . Bei der zweiten Kurve ist es wichtig, das zu benutzen. Das solltest du jetzt auch lösen können. Falls sich noch Fragen ergeben, ich bin erst morgen wieder im Board.

19.07.2018, 21:39

Wölkchen56

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RE: Linienintegral eines Vektorpotentials
Ok vielen Dank! Big Laugh

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