Elemente, Generator, Inverse in GF(3)[x]

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eroy Auf diesen Beitrag antworten »
Elemente, Generator, Inverse in GF(3)[x]
Liebe Leute,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
"Finde alle Elemente, Generator und Inverse von ".

* ist die multiplikative Gruppe.
Leider klappen nicht alle Schritte.. und bei denen, die klappen, bin ich mir gar nicht sicher..

1) Zuerst bestimme ich die Elemente in . Es müssen 9 Elemente sein. Nun, wenn ich mich nicht irre, müssen es diese sein:


Wir suchen aber nur die Elemente, die erfüllen.
ist reduzibel, da 2 eine Nullstelle ist. Einer der Faktoren ist also bzw. .
==> der zweite Faktor ist also auch .
==> daher ist es notwendig, die Polynome (x+1) und (2x+2) auszuschließen. Es bleiben:
.

Die Ordnung der Gruppe ist somit 6.
Sei a ein Generator dieser Gruppe. Laut Lagrange teilt die Ordnung des Generators die Ordnungsgruppe, also . Es kommen also nur die Ordnungen in Frage.
Es ist ausreichend zu zeigen, dass , weil wenn die Ordnung von a = 1, 2 oder 3, dann haben wir .

Und hier bleibt alles stecken. Irgendwie finde ich keinen Generator aus . Z.B. nehme ich . Das ergibt . Muss ich nun alle Koeff. aus GF(3) prüfen? Oder wie gehe ich genau vor? Danke für jeden Tipp!

Bzgl. Inverse,
ich suche nach einem Element, das folgende Gleichung erfüllt:
.

Nun,
Damit die Gleichung also erfüllt ist, brauchen wir a = 2 und b = 1.
Das gesuchte Element ist also: .

Denkt ihr, ist das so korrekt?

Nochmals danke euch für eure Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Nimm jedes einzelne Gruppenelement und berechne seine Potenzen. Dann siehst du, welche zyklischen Untergrupppen die Gruppe hat. Es gibt nicht viele Gruppen der Ordnung 6, deshalb weiß man "eigentlich" sofort, welche Gruppe es sein muss.

Vielleicht kannst du nicht rechnen, dann gebe ich dir ein Beispiel für die Potenzen von x:
eroy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Tipp: Nimm jedes einzelne Gruppenelement und berechne seine Potenzen. Dann siehst du, welche zyklischen Untergrupppen die Gruppe hat. Es gibt nicht viele Gruppen der Ordnung 6, deshalb weiß man "eigentlich" sofort, welche Gruppe es sein muss.

Vielleicht kannst du nicht rechnen, dann gebe ich dir ein Beispiel für die Potenzen von x:


Alles klar, der Generator ist also x, danke!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Der" Generator oder "ein" Generator. Gute Übung: alle berechnen.
eroy Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Inverse-Berechnen habe ich dann auch einen Fehler gemacht, ich musste setzen. Dann ergibt das und das scheint dann tatsächlich die gesuchte Inverse zu sein..
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