Höhe Kreissegment aus Fläche und Radius

21.07.2018, 22:37	Basti1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Höhe Kreissegment aus Fläche und Radius Meine Frage: Hallo zusammen, bisher war ich immer stiller Mitleser, aber jetzt komme ich bei einem mathematischen Problem nicht mehr weiter und wende mich damit hoffnungsvoll an euch Wie dem Titel zu entnehmen ist, geht es darum die Höhe eines Kreissegments zu berechnen. Gegeben sei: A - Fläche des Kreissegments r - Radius des Kreises Aus diesen Angaben soll nun die Höhe h des Kreissegments ermittelt werden. Meine Ideen: Grundsätzlich ist ein Kreissegment mit den drei Angaben A; r; h eindeutig bestimmt, siehe dazu die Formel zur Berechnung der Segmentfläche: $\begin{eqnarray} A = r arccos(1-h/r) - (r-h) * sqrt(2rh-h^2) \end{eqnarray*}$ -> Wikipedia Kreissegment Wie man diese Formel nach h auflöst erschließt sich mir nicht einmal ansatzweise. Die Wurzel am Ende der Gleichung kann als s/2 (s - Kreissehne) umgeschrieben werden. Aber auch das hilft mir nicht weiter da ich keine andere sinnvolle Formel für s/2 gefunden habe.
22.07.2018, 01:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ zu berechnen, muss zuerst der Öffnungswinkel des Sektors ermittelt werden. Die Weiterentwicklung der Formel liefert $\begin{eqnarray} A = \frac{r^2} 2(\alpha - \sin \alpha) \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ im Bogenmaß (!) (Radiant) Diese Gleichung ist nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ algebraisch nicht zu lösen, daher ist dazu ein Näherungsverfahren einzusetzen. Danach berechne $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \cos \frac{\alpha} 2 = \frac {r-h} r \end{eqnarray}$ mY+
22.07.2018, 09:09	Basti1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Aber das heißt, es gibt keine Möglichkeit die Problemstellung ohne Approximation zu lösen? Gruß Basti
22.07.2018, 14:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja; das liegt einfach daran, dass es nicht möglich ist, mittels einer algebraischen Methode $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu berechnen, wenn in der Gleichung $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ sowohl als Argument als auch in einer (transzedenten) Funktion (sin) verkapselt auftaucht. Diese Art von Gleichungen heissen transzedente Gleichungen und es gibt viele davon. Manche sind komplex, manche einfach. Bei einigen wenigen kann man die Lösung durch "scharfes Hinsehen" erraten. Die Exponentialgleichung $\begin{eqnarray} 3^x + 2^x = 13 \end{eqnarray}$ kann algebraisch nicht aufgelöst werden. Eine Möglichkeit ist, den Null gesetzten Term einer Funktion zuzuordnen und deren Graph zu erstellen. Der x-Wert des Schnittpunktes ist (eine) Lösung, auch durch scharfes Hinsehen ist x = 2 zu erraten. -------------- Zur Flächenformel des Segmentes: $\begin{eqnarray} \cos \frac{\alpha} 2 = \frac {r-h} r; \ \sin \frac{\alpha} 2 = \frac s {2r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = \frac r 2 \cdot r \cdot \alpha - \frac{s(r-h)} 2 = \frac r 2 \cdot r \cdot \alpha - r \sin \frac{\alpha} 2 (r-h) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} \frac s 2 = r \sin \frac{\alpha} 2; \ r-h = r \cos \frac{\alpha} 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = \frac {r^2} 2 \alpha - r \sin \frac{\alpha} 2 \cdot r \cos \frac{\alpha} 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = \frac {r^2} 2 (\alpha - \sin \alpha) \end{eqnarray}$ mY+
28.07.2018, 10:55	Basti1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, vielen Dank nochmal für die Hilfe. Für diejenigen, die es interessiert, ich habe das ganze jetzt mehr oder weniger iterativ in Excel umgesetzt. Gruß Basti
31.07.2018, 23:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant und gut gemacht mY+
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01.08.2018, 08:10	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sehr schön!

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