Minimalpolynom & Spaltungssatz

24.07.2018, 10:51	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom & Spaltungssatz Hallo ihr Lieben, ich habe demnächst eine mündliche Prüfung in Lineare Algebra für Lehrämtler. Leider schneiden wir viele Themen nur kurz an, wodurch sie ziemlich schwer nachvollziehbar werden. Derzeit beschäftige ich mich mit der Eigenwerttheorie. Diagonalisierbarkeit habe ich soweit verstanden und kann es denek ich auch ganz gut erklären. Was mir etwas Kopfschmerzen bereitet ist das Minimalpolynom und der Spaltungssatz. Ich kann den Algorithmus zur Berechnung des Minimalpolynoms wunderbar anwenden, aber in einer mündlichen Prüfung werde ich erklären müssen, warum das so funktioniert, wie es funktioniert. Und da hackt es.. Nehmen wir folgendes Beispiel: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & -10 & 6 \\ -2 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um das Minimalpolynom zu bestimmen, machen wir folgendes: $\begin{eqnarray} A(e_1)=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2(e_1)=A(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das machen wir solange, bis wir lineare Abhängigkeit erreichen. Dann stellen wir ein GLS auf und berechnen die Koeffizienten. Dann erhält man: $\begin{eqnarray} p(x)=x^2-2x+5 \end{eqnarray}$ Dann setzt man A ein und erhält: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & -12 \\ 0 & 40 & -20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt sagte der Dozent:" Die erste Spalte ist natürlich gleich 0" Warum? Nun lösen wir das auf und erhalten als Erzeuger des Bildraums $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0\\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Jetzt wird nur noch gesagt, dass dieser Vektor Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 ist und deshalb das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} M_A(x)=(x-1)(x^2-2x+5) \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erklären, was hier passiert ist? Warum das funktioniert? Bin etwas verwirrt.. Danke!
24.07.2018, 11:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt vieles, das man kurz erklären kann. Die Jordan-Normalform gehört m.E. nicht dazu. Hier habe ich eine lesbare und verständliche Darstellung gefunden (§§ 1-6, S. 1-36) : http://www.mathematik.uni-regensburg.de/...06/LinAlgII.pdf In guten Lehrbüchern findet man das vielleicht noch ausführlicher (z.B. Lineare Algebra von H.-J. Kowalsky (sicher nicht das neueste, gefällt mir aber immer noch)). Was man unbedingt wissen muss: Minimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms und enthält alle irreduziblen Teiler desselben. Wenn eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, kann man die Jordan-Normalform berechnen. Dazu berechnet man die Haupträume als Verallgemeinerung der Eigenräume.
24.07.2018, 12:04	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir erstmal Habe gerade folgende Aufgabe gemacht: Ich soll eine Jordan-Basis bestimmen. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_A(x)= x(x-4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Kern(-A)=Kern(\begin{pmatrix} -2 & -4 \\ -1 &-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} Eig_0=<\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich den Kern aufblasen, das heißt ich bestimme: $\begin{eqnarray} Kern((-A)^2)=\begin{pmatrix} & 4 \\ 1 &2 \end{pmatrix}=<4\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 &2 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ Und das ergibt doch wieder $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ In der Musterlösung steht aber: $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ Was mach ich falsch? Oder liegt das einfach daran, weil A diagonalisierbar ist?
24.07.2018, 12:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn A diagonalisierbar ist, muss man keine Haupträume berechnen.
24.07.2018, 12:21	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. Mich hat nur die Aufgabenstellung verwirrt. Das heißt, ich stelle das Minimalpolynom bzw. charakteristische Polynom auf, finde die Eigenwerte, berechne die Eigenräume und prüfe auf Diagonalisierbarkeit. Falls A nicht Diagonalisierbar ist, berechne ich die Haupträume (= Jordanbasis?) und stelle Jordan-Normalform her. Ansonsten berechne ich Eigenvektoren und finde Basis S, die A in eine Diagonalmatrix transformiert? Ist das soweit erstmal richtig?
24.07.2018, 12:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, so ist es.
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