Martingal bzgl. Filtration |
25.07.2018, 16:09 | ssuaG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Martingal bzgl. Filtration Hallo Wenn man ein Martingal bzgl. einer Filtration Fn bestimmen will, dann setzt man doch E[Xn+1 | Fn] an und manchmal aber auch E[Xm | Fn] . Genau darin liegt mein Problem. Woran kann man erkennen, welchen Ansatz man machen muss aus der Voraussetzung von einer Aufgabe ? Meine Ideen: Ehrlich gesagt hab ich kein Plan, deshalb frag ich hier auch nach. Im diskreten Fall benutzt man E[Xn+1|Fn] = Xn und im Allg. Fall E[Xm|Fn] = Xn. Jedoch erkenne ich das bei den Aufgaben leider nicht. |
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25.07.2018, 16:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe deine Formulierung nicht: Man bestimmt doch so nicht ein Martingal bzgl. Filtration , sondern man überprüft für gegebenes , ob es ein Martingal bzgl. ist. |
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25.07.2018, 16:42 | ssuaG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, hab mich dann nicht richtig ausgedrückt. Vielleicht wird mein Problem an zwei Beispielen deutlicher. Aufgabe 1 : Seien Z1,Z2,... stochastisch u.i.v. ZV auf W-Raum (Omega, A,P) mit P(Z1>=0) und E[Z1]=1.Weiter sei X0 = 1 und Xn := "Produkt von j=1 bis n von Zj") , n>=1. Zeige: Die Folge Xn ist ein Martingal bzgl. d. Filtration Fn = Sigma(X0,...,Xn). Lsg: E[Xn+1|X0,...,Xn)=...=Xn Aufgabe 2: Seien X1,X2,... stochastisch u.i.v. ZV, wobei X1~Exp(1).Weiter seien Y0:=0 und Yn := für n aus nat.Zahlen. Zeige: Die Folge Yn ist ein Submartingal bzgl. d. Filtration Fn:=Sigma(X1,...,Xn) und F0:={{},Omega} Lsg: E[Ym|Fn]=...>=Yn |
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25.07.2018, 17:00 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sollte wohl "mit " heißen? Na rechne doch einfach los, unter Nutzung der Regeln der bedingten Erwartung: 1) Trivialerweise ist ja -messbar, damit gilt . Nun ist unabhängig von , und damit automatisch auch unabhängig von den nur aus letzteren abgeleiteten , daraus folgt . 2) Für haben wir , mit ähnlicher Argumentation wie eben bei 1) folgt , basierend auf , was aus folgt. |
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25.07.2018, 17:03 | ssuaG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei beiden Aufgaben ist Z.z das die jeweilige Folge ein Martingal bzw. Submartingal bzgl. der Filtration Fn ist. Wieso dann diese Unterschiedliche Herangehensweise? Liegt es bei Aufgabe 2 wie F0 definiert ist? |
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25.07.2018, 17:06 | ssuaG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, P(Z1 >=0)=1. Wie man zum Ergebnis kommt, kann ich nachvollziehen. Danke dafür! Warum aber diese unterschiedlichen Ansätze? |
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25.07.2018, 17:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt weiß ich erst, was du meinst - dein Beispiel 2) war untauglich dafür, das zu verdeutlichen: Du redest von stetiger Zeit, d.h. für mit . Du kannst auch gern bei diskreter Zeit für alle mit nachweisen, aber hinreichend dafür ist bereits der Nachweis für , der Rest folgt dann per Induktion basierend auf der Eigenschaft für der bedingten Erwartung. Eine derartige Vereinfachung auf einen festen Grundabstand ist im stetigen Fall nicht möglich. |
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25.07.2018, 18:17 | ssuaG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist der Beste Thx |
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