Absolute Stetigkeit

26.07.2018, 09:23

ssuaG

Absolute Stetigkeit

Meine Frage:
Hi smile

Es sei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ das durch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\in \mathbb N } k*dk \end{eqnarray*}$ geg. Maß auf ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , B("Borel-Menge")), wobei dk das Dirac-Maß sein soll.

Sei $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^1 das Lebesgue-Maß auf ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , B("Borel-Menge")). Zeigen Sie, dass v := $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^1 ein Sigma-endliches Maß aus ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^2, B^2("Borel-Menge")).
Ist v abs.stetig bzgl. des zweidimensionalen Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2 ?

Lsg: Definiere für n aus nat.Zahlen An := [-n,n]^2. Dann ist An aufsteigende Folge gegen ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^2 und
v(An) = $\begin{eqnarray*} \mu([-n,n]) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^1([-n,n]) = n^2(n + 1) < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .
Somit ist v Sigma-endlich.
Weiterhin gilt $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2({1} x [0,1]) = 0 und
v({1} x [0,1]) = 1. Somit ist v nicht abs.stetig bzgl. ] $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2.

Meine Ideen:
Um z.z. das v abs.stetig bzgl. $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2 ist, setzt man erst $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2(An) = 0 und folgert dann daraus das auch v(An) = 0 ist. Und die ist v Sigma-endl. so ex. eine Dichte f von v bzgl. $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2.
Meine Frage ist nun : Warum bzw. wie kommt man von v(An) auf n^2(n + 1) ?
Mein Ansatz : $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^1([-n,n]) = n - (-n) = 2n

$\begin{eqnarray*} \mu([-n,n]) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\in \mathbb N } k*dk([-n,n]) \end{eqnarray*}$
das Dirak-Maß wird 1, wenn k Element von [-n,n] ist und andernfalls 0.

Und da komme ich leider nicht weiter unglücklich

Genauso verstehe ich auch nicht warum $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2({1} x [0,1]) = 0 und
v({1} x [0,1]) = 1 ist. Die Folgerung dessen, ist das Einzige das ich verstehen kann Augenzwinkern

26.07.2018, 12:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von ssuaG
Um z.z. das v abs.stetig bzgl. $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2 ist, setzt man erst $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2(An) = 0 und folgert dann daraus das auch v(An) = 0 ist. Und die ist v Sigma-endl. so ex. eine Dichte f von v bzgl. $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ^2.

Absolutstetigkeit $\begin{eqnarray*} \nu \ll \lambda^2 \end{eqnarray*}$ erfordert, dass für jede (!) Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda^2(A)=0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \nu(A)=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Zum Beweis des Gegenteils genügt damit die Angabe einer einzigen Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda^2(A)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nu(A)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , und genau das wird dort getan anhand der Menge $\begin{eqnarray*} A=\{1\}\times [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ssuaG
Meine Frage ist nun : Warum bzw. wie kommt man von v(An) auf n^2(n + 1) ?

Man rechnet es aus! Es ist unter Einsatz des Kleinen Gauß

$\begin{eqnarray*} \nu([-n,n]\times [-n,n]) = \mu([-n,n])\cdot \lambda^1([-n,n]) = \left( \sum_{k=0}^n k\cdot 1\right) \cdot (n-(-n)) = \frac{n(n+1)}{2}\cdot 2n = n^2(n+1) \end{eqnarray*}$ .

26.07.2018, 14:41

ssuaG

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Danke HAL9000 Freude

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