Modifiziertes Münzwurf-Experiment

Neue Frage »

GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »
Modifiziertes Münzwurf-Experiment
Meine Frage:
Hallo, ich hoffe das ist nicht zu profan für dieses Forum.

Das ist mein statistisches Problem:
Ich habe 6 Euro und setze auf einen Münzwurf, der mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 einen Erfolg bringt, jedes mal 50 Cent. Ich erhalte bei einem Erfolg den dreifachen Einsatz (1,50 Euro) zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach 30 Münzwürfen oder früher kein Geld mehr habe?

Ich weiß, dass die Münzwürfe binomialverteilt sind und es sich um einen Bernoulli - Prozess handelt. Mein Hauptproblem ist, dass man schon vor dem dreißigsten Münzwurf kein Geld mehr haben kann.

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Meine Überlegung: Ich muss für jede Anzahl von Münzwürfen zwischen 12 und 30 berechnen, bei wie vielen Erfolgen (nach der entsprechenden Anzahl von Münzwürfen) ich genau nach der entsprechenden Anzahl von Münzwürfen ich genau kein Geld mehr habe. Das muss ich in die Wahrscheinlichkeitsverteilung einsetzen und erhalte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich genau nach der entsprechenden Anzahl von Münzwürfen genau kein Geld mehr habe. Dies muss ich wir oben gesagt für jede Anzahl von Münzwürfen zwischen 12 und 30 machen und die Wahrscheinlichkeiten aufaddieren. Durch die Addition erhalte ich die Gesamtwahrscheinlichkeit.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modifiziertes Münzwurf-Experiment
Zitat:
Original von GermanBoy
Münzwurf, der mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 einen Erfolg bringt, jedes mal 50 Cent. Ich erhalte bei einem Erfolg den dreifachen Einsatz (1,50 Euro) zurück.

Wer bietet das an? Da möchte ich gern mal mitspielen! *lechz* Big Laugh

---------------------------------------------------

Machen wir das "ganzzahlig", indem wir 50 Cent = 1 Geldeinheit setzen. Man kann das ganze nun rekursiv betrachten: Sei die Wahrscheinlichkeit, bei Startkapital in maximal Schritten in den Ruin zu kommen. Dann ist



mit den Randbedingungen für (man hat genug "Reserve", alle Spiele zu verlieren) sowie für , und das für alle .

Auf diese Weise bekommt man , also verschwindend gering. Kein Wunder, bei der gönnerhaften Auszahlung und der vergleichsweise soliden Anfangsreserve. Augenzwinkern


Anders sieht es aus bei einem "fairen" Spiel, also beispielsweise dasselbe Auszahlungsschema wie bei dir, aber nur mit 1/3 Erfolgswahrscheinlichkeit. Dort lautet die Rekursion dann abweichend



und das Endergebnis .
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komme ich von der rekursiven Schreibweise auf die Lösung, ohne mich durch zu rechnen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GermanBoy
Wie komme ich von der rekursiven Schreibweise auf die Lösung, ohne mich durch zu rechnen?

Also nach dem Motto "wasch mich, aber mach mich nicht nass" ? unglücklich

Ich kenne keine explizite Darstellung von - wenn du eine findest, dann nur her damit. Wenn es nur um geht, dann ist die Rekursion doch mit rechentechnischer Hilfe einsfixdrei ausgerechnet.
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Ansatz wäre jetzt, von n=30 und s =12 den Term so lange durch zu rechnen (also über n=29, n=28, n=27, n=26,...), bis ich bei den Randbedingungen "angekommen" bin und diese einsetzen kann. Also so wie ich das rechne, dauert das ewig und ich bekomm einen Term mit ca. 30 Summanden. Deshalb die Frage. Ich hab das mal angehangen, was ich meine. Ich vermute da gibt es einen elegantere Weg. Deshalb die Frage...
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, bin da Anfänger.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man geht umgekehrt vor: Für rechnet man jeweils

für alle
für
für alle ,

tatsächlich rechnet man natürlich nur wirklich die zweite Zeile aus und speichert sie ab. Das kann man sogar in Excel schnell zusammenbasteln. In MuPAD sieht es z.B. so aus
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
p := proc(n,s)
  local r;
  option remember;
  begin
    if (s <= 0) then
      r := 1
    elif (s > n) then
      r := 0
    else
      r := (2*p(n-1,s+2)+p(n-1,s-1))/3
    end_if;
    r
  end_proc;
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das hab ich wirklich noch nie gemacht. Da muss ich mich mal rein arbeiten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Man geht umgekehrt vor: Für rechnet man jeweils

für alle
für
für alle

Ich rechne mal "von Hand" die ersten Stufen vor:

:

für alle
für alle

Der "Mittelteil" existiert hier offensichtlich nicht. Augenzwinkern
----------------------------------------------------
:

für alle

für alle
----------------------------------------------------
:

für alle


für alle
----------------------------------------------------
:

für alle



für alle
----------------------------------------------------
:

für alle




für alle

Jetzt sollte langsam klar sein, wie weiter zu rechnen ist.
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Super, jetzt weiß ich bescheid! Frage beantwortet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir auch klar, wie diese Rekursion



aus der Problemstellung folgt?
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja!

Großartig erklärt! Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich habe ich das Zustandekommen dieser Formel so gut wie gar nicht erklärt - aber wenn du sie quasi für "selbsterklärend" hältst, umso besser. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und das nächste Mal mehr Ehrlichkeit hinsichtlich Crosspostings:

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke...hp?topic=237126 Forum Kloppe
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Berechnung habe ich nun in VBA programmiert. Die sieht bei mir so aus:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
Sub RisikoberechnungTotalverlust()
    
    With ThisWorkbook.Sheets("Tabelle1")
        'Aufruf der Funktion WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv und Übergabe der Werte "Startkapital" und "AnzahlSpiele"
        .Cells(5, 8).Value = WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv(.Cells(29, 4).Value, .Cells(30, 4).Value)
    End With

End Sub

Function WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv(ByVal dblStartkapital As Double, ByVal lngAnzahlSpiele As Long) As Double
    
    With ThisWorkbook.Sheets("Tabelle1")
        '''Randbedingungen programmieren
        'Randbedingung 1: Falls das Startkapital (dblStartkapital) größer ist als das Produkt aus der Anzahl noch
        'ausstehender Spiele (lngAnzahlSpiele) und dem Einsatz für ein Spiel (Zelle D31 auf Tabellenblatt "Tabelle1"),...
        If dblStartkapital > (lngAnzahlSpiele * .Cells(31, 4).Value) Then
            '...dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Totalverlust des Startkapitals gleich "Null"
            WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv = 0
        'Randbedingung 2: Falls das Startkapital (dblStartkapital) kleiner oder gleich "Null" ist,...
        ElseIf dblStartkapital <= 0 Then
            '...dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Totalverlust des Startkapitals gleich "Eins" (100 Prozent)
            WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv = 1
        '''Rekursion programmieren
        'Andernfalls:
        Else
            'Durchlaufe die Rekursionsvorschrift
            WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv = .Cells(32, 4).Value * _
            WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv(dblStartkapital + .Cells(33, 4).Value - _
            .Cells(31, 4).Value, lngAnzahlSpiele - 1) + (1 - .Cells(32, 4).Value) * _
            WahrscheinlichkeitTotalverlustRekursiv(dblStartkapital - .Cells(31, 4).Value, lngAnzahlSpiele - 1)
        End If
    End With
    
End Function


Eine Frage habe ich noch. Es wäre vielleicht auch von Interesse, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, nach 30 Münzwürfen Gewinn zu machen. Habe das auch in Excel ausgerechnet und bin auf eine Wahrscheinlichkeit von 99,984 Prozent gekommen. Ich habe dafür die Wahrscheinlichkeit, pleite zu gehen, addiert zu der Wahrscheinlichkeit nach 30 Münzwürfen zwischen 0 und 6 Euro zu haben und davon die Gegenwahrscheinlichkeit. Um nach 30 Münzwürfen zwischen 0 und 6 Euro zu haben darf man nicht mehr als 10 Spiele gewinnen - daher berechne ich diese Wahrscheinlichkeit über die Formel, die ich in den Anhang gepackt habe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GermanBoy
Ich habe dafür die Wahrscheinlichkeit, pleite zu gehen, addiert zu der Wahrscheinlichkeit nach 30 Münzwürfen zwischen 0 und 6 Euro zu haben und davon die Gegenwahrscheinlichkeit.

Das stimmt nur dann, wenn bei diesem zweiten Ereignis zusätzlich berücksichtigt wird, dass man zwischendurch nicht pleite geht.

Und genau das berücksichtigst du leider nicht: 10mal gewinnen und 20mal verlieren beinhaltet bei deiner Rechnung auch den Fall, dass das 20mal verlieren bereits am Anfang steht - dann bist du aber zwischendurch pleite. unglücklich

So geht's also nicht, da musst du wohl oder übel mehr Grips reinstecken. Womöglich geht auch das besser (oder überhaupt nur) rekursiv.


EDIT: Eigentlich geht die Rekursion völlig analog zu oben. Für eine beliebige Teilmenge definieren wir

... Wahrscheinlichkeit, mit Startkapital in Schritten zu einem Endkapital in zu kommen, ohne zwischendurch in Ruin zu gelangen.

Für gilt dann die Iteration

,

mit den Randbedingungen für sowie

.

Die von dir gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun . Augenzwinkern


Ein Zusammenhang zum obigen besteht über .
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, okay. Was ich nicht verstanden habe ist der Zwischenschritt der zweiten Randbedingung. Was bedeutet die Schreibweise?
Warum gilt die Gleichung nur für n größer null und s größer null?

Und dass der Zusammenhang zwischen p und q gilt ist mir unklar.

Morgen probiere ich, das in VBA umzusetzen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GermanBoy
Was ich nicht verstanden habe ist der Zwischenschritt der zweiten Randbedingung. Was bedeutet die Schreibweise?

Das steht doch direkt dahinter, was es bedeutet! (Stichwort: Indikatorfunktion)

Zitat:
Original von GermanBoy
Warum gilt die Gleichung nur für n größer null und s größer null?

Warum soll im Fall weiter verzweigt werden? Da ist man pleite.

Und im Fall greift die andere Randbedingung - auch kein Grund mehr, zu verzweigen.

Zitat:
Original von GermanBoy
Und dass der Zusammenhang zwischen p und q gilt ist mir unklar.

ist nach Definition die Wahrscheinlichkeit, dass man mit Startkapital nicht pleitegeht und am Ende ein positives Guthaben hat. Letztere Bedingung ist nicht wirklich eine zusätzliche Bedingung, denn das Gegenteil "Guthaben " gehört ja wieder zum Pleite-Fall.

Insofern ist also einfach nur die Wahrscheinlichkeit, dass man mit Startkapital nicht pleitegeht. Das Gegenteil ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass man mit Startkapital pleitegeht.



P.S.: Meine Nachfrage oben

Zitat:
Original von HAL 9000
Ist dir auch klar, wie diese Rekursion



aus der Problemstellung folgt?

war also wohl mehr als berechtigt, so richtig durchgedrungen ist das Prinzip wohl doch noch nicht. verwirrt
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(Stichwort: Indikatorfunktion)


Okay, da hab ich jetzt mal einen Anhaltspunkt.

Zitat:
Warum soll im Fall s=0 weiter verzweigt werden? Da ist man pleite.

Und im Fall n=0 greift die andere Randbedingung - auch kein Grund mehr, zu verzweigen.


Alles klar.

Zitat:
Insofern ist qn(s,&#8469;+) also einfach nur die Wahrscheinlichkeit, dass man mit Startkapital s nicht pleitegeht. Das Gegenteil 1&#8722;qn(s,&#8469;+) ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass man mit Startkapital s pleitegeht.


Ah, ja, da war ich wohl schon im Schlafmodus gestern Schläfer
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin gerade ein bisschen verzweifelt, weil Excel eine halbe Stunde gerechnet hat und nicht zum Ende gekommen ist. - Ich habe die Randbedingung 2 so verstanden, dass bei n=0 die Wahrscheinlichkeit ein Kapital zu haben, das größer oder gleich 6 Euro ist (bzw. s Element aus A mit A = (12, unendlich)), für Startkapital s größer oder gleich 6 Euro gleich 100 Prozent ist und anderenfalls gleich Null.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, n=0 bedeutet ja, dass kein Spiel mehr stattfindet. Insofern hat man bei Wahrscheinlichkeit 1, in A zu landen, und sonst 0 - das Kapital ändert sich ja nicht mehr bis zur Abrechnung. Augenzwinkern
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Excel kommt zu keinem Ergebnis. Ich habe hier meine Programmierung in Worten. Ist dort ein Fehler drin?

Falls die Anzahl von Spielen gleich Null ist,...
...und falls das aktuelle Kapital größer oder gleich dem Startkapital ist,...
...dann beende die Funktion und setze den Rückgabewert auf "Null"
(Wahrscheinlichkeit für Illiquidität ist gleich "Null")
Sonst: Beende die Funktion und setze den Rückgabewert auf "Eins"
(Wahrscheinlichkeit für Illiquidität ist gleich 100 Prozent)
AndererFall: Das aktuelle Kapital ist kleiner oder gleich "Null"
Beende die Funktion und setze den Rückgabewert auf "Eins"
Sonst: Durchlaufe die Rekursionsvorschrift
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du berechnest also gleich statt - Ok, kann man auch machen.

Zitat:
Original von GermanBoy
Falls die Anzahl von Spielen gleich Null ist,...
...und falls das aktuelle Kapital größer oder gleich dem Startkapital ist,...
...dann beende die Funktion und setze den Rückgabewert auf "Null"

Oben klang es allerdings noch so, als wolltest du echt Gewinn machen. Wenn du aber "gleich" zulässt, dann reicht dir auch Gleichstand, also Endkapital = Anfangskapital = 6 Euro. verwirrt



P.S.: Wenn du das einfach so rekursiv programmierst, ist das nicht sehr effektiv:

Grob geschätzt bei n=30 mit jeweils zwei Verzweigungen hat man Funktionsaufrufe, viele mehrfach (im Gesamtverlauf) und daher unnötig. Daher hatte ich ja oben ein anderes Vorgehen vorgeschlagen, was deutlich schneller und nur mit ein paar Hundert Formelberechnungen auskommt.

Den obigen MuPAD-Code kannst du nämlich nicht als Maßstab nehmen: MuPAD geht mit dem "option remember" nämlich derart intelligent vor, dass bereits getätigte Berechnungen auf irgendeiner Stufe nicht nochmal durchgeführt werden müssen, womit der riesige Baum erheblich abgeschnitten wird. Ich nehme mal an, etwas derartiges machst du in deinem Excel nicht...
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es jetzt in Excel nach dem Prinzip "von n=0 bis 30" programmiert. Ich hab allerdings ein anderes Ergebnis - 0,004825 Prozent Wahrscheinlichkeit, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital.

Habe noch die "Hilfsbedingung" eingebaut, dass bei einem aktuellen Kapital, das größer oder gleich dem Startkapital plus Anzahl noch ausstehender Spiele mal Einsatz pro Spiel ist, die Wahrscheinlichkeit, nach 30 Münzwürfen weniger Kapital als das Startkapital zu haben, gleich Null ist.

Außerdem habe ich nur die Werte für das aktuelle Kapital berechnet, die auch wirklich möglich sind (n=30 und s<>6 ist z.B. nicht möglich, genauso wie n=29 und s<=5,5 und s>7).

Die Berechnungstabelle ist im Anhang. Links sind die Werte für das aktuelle Kapital s und oben die für die Anzahl verbleibender Spiele n.
Grün ist, was Wahrscheinlichkeit von 1 hat, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital.
Rot ist, was Wahrscheinlichkeit von 0 hat, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital.
Gelb ist, was durch die "Hilfsbedingung" nicht berechnet wurde.
Die Zeile mit s=6 Euro ist umrandet.

Woher kommt nun dieser Unterschied? verwirrt

Außerdem stellt sich für mich die Frage: Wie gehe ich bei der Lösungsfindung vor, wenn ich krumme Wahrscheinlichkeitswerte habe - z.B. 0,57 und 0,43!? Dann kann ich die möglichen Werte des aktuellen Kapitals nicht mehr so einfach benennen. verwirrt
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Grün ist, was Wahrscheinlichkeit von 1 hat, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital. Rot ist, was Wahrscheinlichkeit von 0 hat, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital.


Es ist natürlich genau anders herum.
Rot ist, was Wahrscheinlichkeit von 1 hat, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital.
Grün ist, was Wahrscheinlichkeit von 0 hat, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital.
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Außerdem stellt sich für mich die Frage: Wie gehe ich bei der Lösungsfindung vor, wenn ich krumme Wahrscheinlichkeitswerte habe - z.B. 0,57 und 0,43!? Dann kann ich die möglichen Werte des aktuellen Kapitals nicht mehr so einfach benennen.


Runden?!
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Ziehe die letzte Frage zurück Engel
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GermanBoy
Ich hab es jetzt in Excel nach dem Prinzip "von n=0 bis 30" programmiert. Ich hab allerdings ein anderes Ergebnis - 0,004825 Prozent Wahrscheinlichkeit, dass das Kapital nach 30 Münzwürfen kleiner ist als das Startkapital.

Ich hatte drauf hingewiesen, aber du hast beschlossen, es zu ignorieren:

Zitat:
Original von HAL 9000
Oben klang es allerdings noch so, als wolltest du echt Gewinn machen. Wenn du aber "gleich" zulässt, dann reicht dir auch Gleichstand, also Endkapital = Anfangskapital = 6 Euro. verwirrt

Es gibt nun mal einen Unterschied zwischen "kleiner" und "kleiner oder gleich". Tatsächlich ist wie oben angegeben

und damit dann .

Du hingegen hast nun berechnet , also unter Einbeziehung der 12 (= 6 Euro).
GermanBoy Auf diesen Beitrag antworten »

Basierend auf dem zu Anfang beschriebenen modifizierten Münzwurfexperiment habe ich nun diese drei Fälle:

Das Anfangskapital ist 1000 GE. In Fall 1 werden 37 Münzwürfe durchgeführt. In Fall 2 werden (3x37) 111 Münzwürfe durchgeführt. In Fall 3 werden (5x37) 185 Münzwürfe durchgeführt. Einsatz pro Münzwurf sind 30 GE. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einem Münzwurf liegt bei 0,362. Die Höhe des potentiellen Gewinns pro Münzwurf liegt bei 101 GE. Hat der Spieler weniger übrig gebliebenes Kapital als der Einsatz für zwei Münzwürfe, hört er auf zu spielen, auch wenn noch nicht alle Münzwürfe durchgeführt wurden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit jeweils für die Fälle 1, 2 und 3, dass der Spieler nach der jeweils angegebenen Anzahl von Münzwürfen einen Verlust hat oder vor Ende des Experiments aufhört, zu spielen? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit jeweils für die Fälle 1, 2 und 3, dass der Spieler vor Ende des Experiments aufhört, zu spielen?

Meine Ergebnisse:

Fall 1: Verlust/Abbruch: 16,11 %; Abbruch: 3,25 E-06
Fall 2: Verlust/Abbruch: 6,29 %
Fall 3: Verlust/Abbruch: 2,73 %

Kann jemand die Ergebnisse bestätigen? Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit in Fall 2 und 3 habe ich mit Excel die Berechnung abgebrochen, weil es zu lange gedauert hat. Wie kann ich die Ergebnisse ohne Excel – vielleicht mit einem anderen Programm - berechnen?

Danke im Voraus.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »