Bestimmen Sie eine Matrixdarstellung von D.

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Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen Sie eine Matrixdarstellung von D.
Meine Frage:
Hallo,

hier nochmal die ganze Aufgabe:

Das ist die Aufgabe:
[attach]47739[/attach]

Die Lösung ist wie folgt:



ich verstehe nicht, wie diese Matrix zustande kommt?

Die Funktionen oben sind mir auch noch etwas unklar.

Man fängt bei 1 an, da x^0 = 1 und geht bis x^3 und das hinter = sind eben die Ableitungen, das ist mir bewusst...

wieso 4x4?
Wieso kommen die zahlen 1, 2 und 3 dort hin wo sind sind? -> wegen x^1, bis x^3? wenn ja wieso?
wieso ist die letzte Zeile 0 0 0 0 und könnte man die nicht rauslassen?

mfg

Meine Ideen:
...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Lösung und die Aufgabe miteinander verwechselt. Die Definition der linearen Abbildung gehört in die Aufgabe, sonst weiß man ja gar nicht, worum es geht. Damit eine lineare Abbildung werden kann, braucht man 2 Vektorräume und ( so wie es aussieht, kann auch = sein). Ohne Vektorraum kann man nicht von Basis und linearer Abbildung sprechen. Die Definition von hast du auch noch vermurkst.

Und nun etwas konstruktiver: Es geht vermutlich um den Vektorraum der Polynome höchstens 3. Grades über einem Körper (du hast nicht einmal verraten, über welchem Körper du den VR definieren möchtest. D ist dann die (formale) Ableitung, deshalb nennt man sie auch D (wie Differentiation).

Nachdem das geklärt ist, ergibt sich die Lösung wie von selbst: IN DEN SPALTEN DER DARSTELLUNGSMATRIX STEHEN DIE BILDER DER BASISVEKTOREN. Bitte merke dir das, das ist nämlich immer so. Lehrer
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe versehentlich nur die hälfte der Aufgabe gepostet, was als Titel gedacht war. Hammer

habe oben nun die ganze Aufgabe drin.

[attach]47740[/attach]

mfg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch. Bei der Lösung hast du auch nicht aufgepasst, es muss natürlich heißen und nicht 4 mal . Wenn man eine Basis eines 4-dimensionalen Vektorraums abbilden will, genügt es nicht, einen Basisvektor 4 mal abzubilden.

Deine Frage, ob man eine Nullzeile in der Darstellungsmatrix weglassen kann, ist zu verneinen. Selbstverständlich kann man in einer Darstellungsmatrix nichts hinzufügen, nichts weglassen und nichts verändern. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung ist bei gegebenen Basen eindeutig bestimmt. das ist doch gerade der Charme von Matrizen, statt mit unhandlichen Abbildungen rechnet man mit simplen Zahlenschemata.
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
IN DEN SPALTEN DER DARSTELLUNGSMATRIX STEHEN DIE BILDER DER BASISVEKTOREN


Ja gut ich muss mir das also merken...

Basisvektoren sind hier also:

f_0 = (x^0)=1 also (1,0,0,0)^T -> hier ist 1 bei x^0, also nur Zahl.
f_1 = (x^1) -> (0,1,0,0)^T -> hier ist die 1 bei x^1, also hat eine variable x? verstehe ich nicht verwirrt
f_2 = (x^2) -> (0,0,1,0)^T
f_3 = (x^3) -> (0,0,0,1)^T

und ableiten (Differenzieren)

f'_0 = (0)? also (0,0,0,0)^T
f'_1 = (1) -> (0,1,0,0)^T
f'_2 = (2x -> (0,0,2,0)^T
f'_3 = (3x^2) -> (0,0,3,0)^T

und diese einfach als Matrix D aufschreiben... Big Laugh

4 Dimensional, weil die Basisvektoren ja auch 4 Dimensional waren, deshalb hier die letzte Zeile 0 0 0 0? bzw. k geht ja von 0 bis 3, und deshalb 4x4 matrix, wenn k bis 4 gehen würde hätten wir 5x5?
Das ist ungewohnt, denn ich kenn mich nur mit x_1, x_2, x_3 usw. in der matrix aus... aber man ja auch potenzen und ganze funktionen haben... hatten ich vergessen...

mfg
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Geht doch. Bei der Lösung hast du auch nicht aufgepasst, es muss natürlich heißen und nicht 4 mal . Wenn man eine Basis eines 4-dimensionalen Vektorraums abbilden will, genügt es nicht, einen Basisvektor 4 mal abzubilden.


ja genau.. siehe neue antwort...
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis und die Ableitung hast du auch noch nicht richtig begriffen. Basis ist , Ableitungen sind

Eine Basis ist nicht 4-dimensional, ein Vektorraum ist 4-dimensional. LERNE DEFINITIONEN !
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

ok mach ich... vielen dank smile
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