Permutation als Produkt von Transpositionen

28.07.2018, 11:52

Snexx_Math

Permutation als Produkt von Transpositionen

Hallo zusammen,

ich nochmal eine Nachfrage:

In der Literatur finde ich zum dem im Titel stehenden Thema nur folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sigma = (1 2 3 4 5) \end{eqnarray*}$ Dann soll die Zerlegung folgendermaßen aussehen: $\begin{eqnarray*} (15)(14)(13)(12) \end{eqnarray*}$
Nun meine Frage, ich hab das anders gelernt und bin gerade verwirrt, meine folgende Lösung ist doch auch richtig oder ?

$\begin{eqnarray*} (12)(23)(34)(45) \end{eqnarray*}$

LG

Snexx_Math

28.07.2018, 13:03

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \sigma = (1 2 3 4 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}=(12)(13)(14)(15)=(45)(34)(23)(12) \end{eqnarray*}$
stimmt leider mit den beiden Produkten von Transpositionen nicht überein:
$\begin{eqnarray*} (15)(14)(13)(12)=(12)(23)(34)(45)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(jedenfalls nach meiner Konvention nicht, in der die Verknüpfung von Abbildungen von rechts nach links ausgeführt wird)

28.07.2018, 14:38

Snexx_Math

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \sigma = (1 2 3 4 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}=(12)(13)(14)(15)=(45)(34)(23)(12) \end{eqnarray*}$
stimmt leider mit den beiden Produkten von Transpositionen nicht überein:
$\begin{eqnarray*} (15)(14)(13)(12)=(12)(23)(34)(45)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(jedenfalls nach meiner Konvention nicht, in der die Verknüpfung von Abbildungen von rechts nach links ausgeführt wird)

Also bei mir heißt $\begin{eqnarray*} \sigma = (12345) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also stimmt dann die Zerlegung in beiden Fällen ? und ist letztendlich konventionsabhängig ?

smile

28.07.2018, 16:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
(jedenfalls nach meiner Konvention nicht, in der die Verknüpfung von Abbildungen von rechts nach links ausgeführt wird)

Sehe ich auch so, aber innerhalb der Zykel wird doch von links nach rechts gelesen! Insofern stimme ich Snexx_Math in dieser Frage zu.

28.07.2018, 18:22

Elvis

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Ein Zykel wird von links nach rechts gelesen, stimmt. Also ist $\begin{eqnarray*} \sigma=(15)(14)(13)(12)=(12)(23)(34)(45) \end{eqnarray*}$ . Passt. Die Darstellung von Permutationen als Produkt von Zykeln und insbesondere von Transpositionen ist nicht eindeutig.
Lediglich die Signatur $\begin{eqnarray*} (-1)^{Anzahl \;Transpositionen} \end{eqnarray*}$ ist eindeutig und zerlegt die Permutationsgruppe in 2 Klassen, die geraden und ungeraden Permutationen. Die geraden Permutationen bilden einen Normalteiler der symmetrischen Gruppe vom Index 2, die alternierende Gruppe.

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