Zeigen, dass limes (1+1/n)^n=e ist

28.07.2018, 22:15

Elle1

Zeigen, dass limes (1+1/n)^n=e ist

Meine Frage:
Hallo alles zusammen,
ich soll zeigen das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hab mir gedacht ich schreibe (1+\frac{1}{n} )^{n} so um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n} )^{n} = \lim_{n \to \infty }exp(n*ln(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ aber nach diesem Schritt hab ich keine Idee mehr.

28.07.2018, 23:02

005

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RE: Zeigen das limes (1+1/n)^n=e ist
Wenn Du hier was beweisen willst, dann musst Du e schon kennen. Also: Woher kennst Du e und was weisst Du alles ueber exp und ln?

28.07.2018, 23:55

Elle1

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Woher ich e kenne? Von meiner Analysis vorlesung... Was ich über e weiß, eine Menge. die Umkehrfunktion von e ist ln. Die Ableitung von e was denke ich jeder weiß ist e selber. Die Exponentialfunktion ist stetig. Ich weiß nicht ganz was das ziel ist, dir alle definitonen aufzuschreiben verwirrt

Mein Ziel ist es in dem Beweis am Ende auf exp(1) bzw. e^1 zu kommen und bevor wir diese Aufgabe von unserem Professor bekommen haben mussten wir erstmal die Standard definitionen von e und ln beweisen..

29.07.2018, 00:03

Elle1

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Ups hab mich verschrieben die Ableitung von e^x natürlich nicht e denn e ist eine Zahl (eulersche Zahl)

29.07.2018, 00:20

005

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Wie ihr $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ definiert habt, wollte ich wissen. Wohl $\begin{eqnarray*} e:=\exp1 \end{eqnarray*}$ dann.

Wenn Du mit dem Beweis zu

$\begin{eqnarray*} (*)\quad(1+1/n)^n=\exp n\ln(1+1/n)\to e \end{eqnarray*}$

weiterkommen willst, ist es in Deinem eigenen Interesse, alle Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ durchzugehen. Denn mit einigen davon wird es wohl gehen muessen.

Was kann man z.B. wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ sagen?

29.07.2018, 12:50

Elle1

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Meinst du (1+1/n)^n denn das ist denke ich stetig auf ganz R, weil die Konstante 1 stetig ist und 1/n stetig ist und die Addition zwei stetiger Funktionen wieder stetig ist. Desertieren haben wir die Komposition von 1+1/n und x^n hier ist x^ n auch stetig und daraus ergibt das (1+1/n)^n stetig ist.

29.07.2018, 17:50

005

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$\begin{eqnarray*} n=1,2,3,\ldots \end{eqnarray*}$ ist doch diskret. Bei Folgen ist das Konzept der Stetigkeit sinnlos.

Hast Du schon mal die Formulierung gehoert, dass man bei Stetigkeit Grenzuebergang und Funktionsauswertung vertauschen darf? Oder was vom Folgenkriterium fuer Stetigkeit?

30.07.2018, 09:57

Elle1

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Ja das Folgenkriterium kenne ich also das ich weil exp stetig das limes rein ziehen kann in die Funktion. Dann hab ich noch
$\begin{eqnarray*} \lim_{ n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n}\right) ^{n} \end{eqnarray*}$ . "..dass man bei Stetigkeit Grenzuebergang und Funktionsauswertung vertauschen darf?" Was ist damit gemeint? Ist es das was man beim Folgenkriterium auch darf?

30.07.2018, 16:09

005

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Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist und $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, gilt immer $\begin{eqnarray*} \lim f(x_n)=f(\lim x_n) \end{eqnarray*}$ .

Wir wuerden gerne $\begin{eqnarray*} \lim\exp[n\ln(1+1/n)]=\exp[\lim n\ln(1+1/n)] \end{eqnarray*}$ rechnen.

Dazu muss $\begin{eqnarray*} \lim n\ln(1+1/n) \end{eqnarray*}$ existieren. Und wenn $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ folgen soll, muss der Limes ausserdem $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$ sein.

Du solltest also jetzt

$\begin{eqnarray*} (+)\quad\lim n\ln(1+1/n)=1 \end{eqnarray*}$

zeigen.

Da Du wahrscheinlich wieder keine Idee hast, musst Du Dir eine erarbeiten. Zaehle alle Dir bekannten Fakten ueber $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ auf. Da ist was Passendes dabei.

31.07.2018, 13:20

Elle1

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Weiß nicht wie du drauf kommst das ich keine Idee habe..

Wir haben $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } exp\left(ln \left(1+\frac{1}{n}\right) ^{n}\right) \end{eqnarray*}$ benutzt man die Regeln von ln dann wird daraus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } exp\left(n*ln\left(1+\frac{1}{n} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt benutzen wir die genannte Regel: Wenn f stetig ist und das argument konvergent ist, können wir den limes reinziehen.
D.h. Wir haben also $\begin{eqnarray*} exp\left(\lim_{n \to \infty } \left(n*ln\left(1+\frac{1}{n} \right) \right) \right) \end{eqnarray*}$
Wir wissen das exp stetig ist und nun müssen wir noch die Existenz vom argumentes zeigen also das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n*\left(1+\frac{1}{n} \right)=\lim_{n \to \infty }\left(\frac{1+\frac{1}{n} }{\frac{1}{n} } \right) \end{eqnarray*}$ existiert. Mit L'Hospital erhält man den Grenzwert 1 also haben wir die existenz gezeigt und es gilt $\begin{eqnarray*} exp(1)=e \end{eqnarray*}$ .

31.07.2018, 14:18

HAL 9000

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Erstaunlich, wie bei dir aus $\begin{eqnarray*} n\cdot \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ plötzlich $\begin{eqnarray*} n\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ wird. Noch erstaunlicher, wie du dann trotzdem noch auf das richtige Ergebnis kommst. Das ging natürlich nur auf Kosten eines weiteren Fehlers, nämlich die Anwendung von L'Hospital bei dazu nicht vorhandenen Voraussetzungen. unglücklich

31.07.2018, 15:51

005

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L'Hospital. Die erste (und letzte) Zuflucht der Einfallslosen. smile

Ich hab immer den Verdacht, die Leute wissen nicht, was sie tun, wenn sie nach diskretem $\begin{eqnarray*} n=1,2,3,\ldots \end{eqnarray*}$ ableiten.

Als Gegenvorschlag: Mein Favorit an dieser Stelle ist

$\begin{eqnarray*} n\ln(1+1/n)=\frac{\ln(1+1/n)-\ln1}{1/n}\to\frac{d\ln x}{dx}\,\Bigg|_{\displaystyle\,x=1} \end{eqnarray*}$ .

31.07.2018, 17:22

Elle1

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QHal9000 Es ist kein mathematischer Fehler eher ein Tippfehler aber damit ihr mir das glaubt den Teil nochmal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n*ln(1+\frac{1}{n})=\lim_{n \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{n}) }{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ Ohh wir haben ein Bruch und was bietet sich an -> L'Hospital. Ob es die Zuflucht der Einfallslosen ist liegt im Auge des Betrachters. Trotzdem danke für die Tipps 005. Wink

31.07.2018, 17:49

HAL 9000

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So wie du es geschrieben hattest, konnte man tatsächlich annehmen, du rechnest

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left(\frac{1+\frac{1}{n} }{\frac{1}{n} } \right) \stackrel{?}{=} \lim_{n \to \infty }\left( \frac{-\frac{1}{n^2} }{-\frac{1}{n^2}} \right) = 1 \end{eqnarray*}$

weiter, was natürlich Unsinn wäre. Aber alles schon erlebt hier im Matheboard. Augenzwinkern

Wenn ihr schon $\begin{eqnarray*} (\ln(x))' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ zur Verfügung habt, geht das in Ordnung. Da ihr aber gerade erst bei der Definition von Exponentialfunktion und $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ seid, liegt bei diesem Weg der Verdacht eines Zirkelschlusses ziemlich nahe. verwirrt

01.08.2018, 15:59

005

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Also ich hab natuerlich keine Ahnung, was wie gemacht wurde. Aber man kann alle verwendeten Eigenschaften aus der Exponentialreihe gewinnen (ohne Zirkelschluss).

Alternative ohne Differentialrechnung: Aus der Exponentialreihe

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{\exp x-1}{x}=1 \end{eqnarray*}$

ablesen und $\begin{eqnarray*} x=\ln(1+y) \end{eqnarray*}$ substituieren. Macht

$\begin{eqnarray*} \lim_{y\to0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1 \end{eqnarray*}$ .

Geht es noch elementarer?

01.08.2018, 17:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von 005
Also ich hab natuerlich keine Ahnung, was wie gemacht wurde.

Das ist ja das Kardinalproblem hier: Dass sich Elle1 darüber äußerst bedeckt hält und hier

Zitat:

Original von Elle1
Ich weiß nicht ganz was das ziel ist, dir alle definitonen aufzuschreiben

sogar eine gewisse Unwilligkeit/Uneinsichtigkeit in dieser Frage durchscheint. So wird lustig weiterspekuliert, statt dass man mal echt vorankommt. unglücklich

01.08.2018, 18:12

005

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Zitat:

Geht es noch elementarer?

Also es juckt einen natuerlich, $\begin{eqnarray*} (1+1/n)^n \end{eqnarray*}$ mit der Binomialformel auszumultiplizieren, und dann per gliedweisem Grenzuebergang a la Euler zu $\begin{eqnarray*} \sum1/n! \end{eqnarray*}$ zu kommen. smile

Wenn man sich ein bisschen anstrengt, kriegt man das bestimmt ad hoc mit ein paar passenden Abschaetzungen sauber und ganz superelementar hin.

So. Moeglichkeiten sind genannt. Mehr fallen mit grad nicht ein.

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