Komplexe Gleichung lösen

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29.07.2018, 11:56	xoli	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung lösen Meine Frage: Gelöst werden soll y^2 = -1+i Meine Ideen: Soll ich einfach die Wurzel ziehen oder muss das mit der Euler Form oder so gemacht werden? Wenn ich die Wurzel ziehen würde, stehe da: y = Wurzel(-1+i) und wie gehts weiter? Mit Euler wäre das: y^2 = Wurzel(Betrag von r) + e^(i(phi/2)) --> r ist in dem Fall -1+i oder? => Betrag = Wurzel(2) Einsetzen in: y^2 = Wurzel(Betrag von r) + e^(i(phi/2)) ergibt: y^2 = Wurzel(Wurzel(2)) + e^(i*(1/2)) Hilfe!
29.07.2018, 13:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Erster Schritt ist die Polardarstellung $\begin{eqnarray} -1+i = re^{i\varphi} \end{eqnarray}$ , d.h. die Ermittlung von $\begin{eqnarray} r,\varphi \end{eqnarray}$ dieser Darstellung. $\begin{eqnarray} r=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ hast du da richtig ausgerechnet, fehlt noch der Winkel (hier auch "Argument" genannt) $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Wie groß ist der hier?
29.07.2018, 14:12	xoli	Auf diesen Beitrag antworten »
also in meinen Unterlagen steht das Æ = Gegenkathete/Ankathete. Gegenkathete wäre 1(i) und Ankathete 1. und somit Æ = 1/1 = 1 Jetzt tan^-1(1) = pi/4 bzw 45 Grad?
29.07.2018, 14:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir ist schon klar, in welchem Quadranten der Gaußschen Zahlenebene die Zahl $\begin{eqnarray} -1+i \end{eqnarray}$ liegt? Im zweiten Quadranten! Kann daher $\begin{eqnarray} \varphi = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ stimmen? Nein, das liegt im ersten Quadranten, genauer gesagt ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}} = 1+i \end{eqnarray}$ . Schau doch bitte mal genau in deinen Unterlagen nach, wie das ist mit der Polardarstellung, d.h., wie man da den Winkel ermittelt, und zwar für alle möglichen Quadranten.
29.07.2018, 15:35	xoli	Auf diesen Beitrag antworten »
achso dann sind es einfach 3/4 pi dann also y^2 = wurzel(2) + e^(i*(3/4 pi)/(2)) ist das die antwort dann oder muss man noch weiter rechnen?
29.07.2018, 15:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal langsam: Wir sind jetzt bei $\begin{eqnarray} y^2 = \sqrt{2}\cdot e^{i\frac{3}{4}\pi} \end{eqnarray}$ , das ist zunächst mal richtig. Die eigentliche Wurzelziehung steht jetzt noch bevor, denn es ist ja nicht nach $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ gefragt, sondern die möglichen Lösungen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ sind anzugeben!
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29.07.2018, 15:51	xoli	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie genau soll das gehen? kann ich denn aus Wurzel(2) * e^etc. die wurzel ziehen? dann würde da ja stehen wurzel aus wurzel(2) * e^etc..
29.07.2018, 17:12	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ist es das auch, allerdings mußt du beim Ziehen der 2. Wurzel aus einer Potenz den Exponenten halbieren. Dabei kommt noch eine wichtige Eigenschaft des Arguments einer komplexen Zahl ins Spiel. Dieser ist nämlich 2pi-periodisch, so daß beispielsweise $\begin{eqnarray} e^{i\frac{3}{4}\pi} = e^{i(\frac{3}{4}\pi + 2 \pi)} = e^{i(\frac{3}{4}\pi + 4\pi)} \end{eqnarray}$ gilt. Halbiere hiervon mal die Argumente und vergleiche die Ergebnisse.
31.07.2018, 20:45	xoli	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme nicht weiter..
31.07.2018, 20:49	xoli	Auf diesen Beitrag antworten »
einfach y = r * e^(i * phi + 2 k * pi) was genau soll aber k sein? (steht im internet)
31.07.2018, 22:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist ein ganzzahliger Zählindex. Im Falle deiner quadratischen Gleichung (Kreisteilungsgleichung) genügen 0 und 1, weil sich ansonsten bei weiteren k die Lösungen wiederholen würden. () Die Zeigerspitzen wandern längs eines Kreises, sie teilen diesen in so viele Teile, als der Grad der Gleichung angibt. $\begin{eqnarray} y^2 = -1 + i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^2 = r \cdot e^{i(\varphi + 2k \pi)}=\sqrt 2 \cdot e^{i(\frac{3 \pi} 4 + 2k \pi)} \end{eqnarray}$ Weil $\begin{eqnarray} -1 + i \end{eqnarray}$ in den zweiten Quadranten zeigt, ist $\begin{eqnarray} \varphi = \frac{3 \pi} 4 \end{eqnarray}$ Infolge des Grades 2 ist nun aus dem Betrag die Wurzel zu ziehen und das Winkelargument durch 2 zu dividieren: Somit ist $\begin{eqnarray} y_{k \in \{0,1\} } = \sqrt[4] 2 \cdot e^{i(\frac{3 \pi} 8 + k \pi)} \end{eqnarray}$ mY+
31.07.2018, 22:44	xoli	Auf diesen Beitrag antworten »
aaah okay vielen dank! jetzt bin ich in der lage die restlichen aufgaben zu bearbeiten. vielen dank
31.07.2018, 22:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab' noch eine Kleinigkeit korrigieren müssen, ich hatte mit 1+i anstatt -1+i gerechnet. Der Anfangswinkel ist daher 3pi/4, ansonsten bleibt alles gleich. mY+

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