Differenzierbarkeit mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zeigen

29.07.2018, 13:41

Mimi123

Differenzierbarkeit mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zeigen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
mein Professor benutzt bei dem Beweis das eine Funktion stetig den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Ich würde sehr gerne verstehen was er macht bei dem Beweis aber nun erstmal zu Aufgabe: Zeigen Sie: Die Funktion arcsin ist in (-1,1) differenzierbar, und es gilt:
$\begin{eqnarray*} arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Wir haben ja hier den arcsin und die Umkehrfunktion von arcsin ist der sinus. warum wählt man dann den cos für cos(arcsin(x))>0 ich hätte jetzt sin(arcsin(x))>0 gewählt.
Die Definitionen im Skript sind folgende:
-Der Sinus ist im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi }{2} , \frac{\pi }{2}\right] \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend und bildet dieses Intervall bijektiv auf das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-1 , 1 \right] \end{eqnarray*}$ ab. Die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} arcsin:\left[-1,1\right] -> \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right] \end{eqnarray*}$ .
-Der Cosinus ist im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0 , \pi \right] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend und bildet dieses Intervall bijektiv auf das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-1 , 1 \right] \end{eqnarray*}$ ab. Die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} arccos:\left[-1,1\right] -> \left[0,\pi \right] \end{eqnarray*}$ .

29.07.2018, 14:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mimi123
warum wählt man dann den cos für cos(arcsin(x))>0 ich hätte jetzt sin(arcsin(x))>0 gewählt.

Das ist in zweierlei Hinsicht Unsinn: Man "wählt" hier nicht, sondern der Term $\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(x)) \end{eqnarray*}$ entsteht durch die Berechnung im Nenner der Ableitung - da kann man nicht willkürlich was anderes hinschreiben, nur weil es einem besser passt.

Zum anderen gilt $\begin{eqnarray*} \sin(\arcsin(x))>0 \end{eqnarray*}$ nicht für alle $\begin{eqnarray*} x\in (-1,1) \end{eqnarray*}$ , sondern allenfalls für $\begin{eqnarray*} x\in (0,1] \end{eqnarray*}$ .

30.07.2018, 09:31

Mimi123

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Achso das hat mich irritert, weil es am Anfang stand aber jetzt kann ich es nachvollziehen. Theoretisch gesehen könnte ich es auch so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} arcsin'(x)=\frac{1}{sin'(arcsin(x)}=\frac{1}{cos(arcsin(x)} \frac{1}{\sqrt{1-sin^{2}(arcsin(x) } } =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}$
Und anhand einer Nebenrechnung die Umformungen erklären. Das wäre doch nicht mathematisch unkorrekt oder? verwirrt

Was ist mich frage ist wann ist der arcsin pi/2 bzw. -pi/2? Was müsste man für x eingeben im Taschenrechner, weil versuche gerade nachzuvollziehen warum $\begin{eqnarray*} cos(arcsin(x)>0 \end{eqnarray*}$ ist. Ich weiß warum es nicht 0 sein darf weil der Bruch sonst nicht definiert ist. Wenn nämlich x eine zahl ist die nicht in (0,1] ist dann hab ich es verstanden.

30.07.2018, 09:54

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion der auf das Definitionsintervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ eingeschränkten Sinusfunktion:

Dementsprechend ist wegen $\begin{eqnarray*} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$ entsprechend $\begin{eqnarray*} \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \arcsin(1)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ :

D.h., die Funktion $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ ist zwar auf dem abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ definiert (mit Werten in $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ ), aber nur in $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ differenzierbar, d.h. an den Randpunkten -1 sowie 1 ist sie nicht differenzierbar (auch nicht "einseitig").

30.07.2018, 10:15

Mimi123

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Super vielen dank das hab mit den Plottes und den Erklärungen dazu gut verstanden. Freude

Hab noch eine letzte Frage und zwar wir sollten ja die Differenzierbarkeit im angegebenen Intervall zeigen und dass das angegebene gilt was ich verstanden habe. Was ich wissen will hat man jetzt die Differenzierbarkeit gezeigt, weil man den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion angewendet hat oder weil man anhand der umformung gezeigt hat das die Ableitung von arcsin exisitiert im intervall (-1,1) ? Darauf ist er im Skript nicht eingegangen. Ich kenne das so das man zeigt das eine Funktion differenzierbar ist wenn man das mithilfe des Differentialquotienten zeigt.

31.07.2018, 17:48

Mimi123

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Könnte mir jemand bitte kurz darauf antworten? Die Antwort darauf würde mich sehr interessieren.

31.07.2018, 17:59

HAL 9000

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Du musst doch wissen bzw. nachträglich rekapitulieren können, was du da oben getan hast! Was soll also die Quengelei, leg mal ein bisschen Selbständigkeit an den Tag. unglücklich

Es wird natürlich der Satz über die Differnzierbarkeit der Umkehrfunktion verwendet, der neben Existenz der Umkehrfunktion sowie Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion lediglich noch $\begin{eqnarray*} f'(f^{-1}(x))\neq 0 \end{eqnarray*}$ voraussetzt. Und genau letzteres ist hier etwa an den Randpunkten x=-1 und x=1 nicht erfüllt, weswegen die ausgeklammert werden müssen.

Zitat:

Original von Mimi123
Ich kenne das so das man zeigt das eine Funktion differenzierbar ist wenn man das mithilfe des Differentialquotienten zeigt.

Naja, das wendet man ja nun in der Praxis dann ganz selten an: Man muss ja nicht jedes Mal das Rad neu erfinden und sich durch diese langwierige Prozedur kämpfen - dazu gibt es ja die diversen Regeln für die Differenzierbarkeit von Summen/Produkten/Hintereinanderausführung/Umkehrfunktion, dass man eben nicht mehr immer durch diese Tretmühle muss.

31.07.2018, 18:33

Mimi123

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Ok sorry und danke.

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