Orthonormalbasis bestimmen

30.07.2018, 12:54	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis bestimmen Hallo, Folgende Aufgabe: Es sei im $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ mit dem Standardskalarprodukt der Unterraum U gegebenen, der aufgespannt wird durch die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\0\\3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1\\3\\2\end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} U_\perp \end{eqnarray}$ Lösung: Es wird $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ gesetzt und dann wird $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ berechnet. Ich verstehe nicht, wie man auf die Gleichung kommt.. [attach]47758[/attach] Danke
30.07.2018, 13:07	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis bestimmen Zum Vektor (-1, -1, 0, 1, 0) wird ein weiterer Basisvektor mit der Form $\begin{eqnarray} (-1, -1, 0, 1, 0) + \mu \cdot (4, 1, -1, 0, -1) \end{eqnarray}$ gesucht, so daß dieser auf (-1, -1, 0, 1, 0) senkrecht steht.
30.07.2018, 13:24	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sicher. klar. Jetzt ist es verständlich. Da das so schnell ging, noch eine weitere Bitte: Ich kann zwar Orthonormalbasen bestimmen (Gram-Schmidt) und verstehe auch die Definition solch einer Basis, aber irgendwie ist mir noch nicht klar, was mir diese Basen bringen.. In LA2 habe ich Eigenwerttheorie und Euklidische Vektorräume gemacht. Diese Themen hängen irgendwie durch den Spektralsatz zusammen, aber irgendwie fällt es mir schwer, beispielsweise meiner Freundin zu verdeutlichen, warum man den Hokus-Pokus mit den Orthonormalbasen überhaupt macht.. Kann mir irgendwie nochmal in leichten Worten erklären, was Orthonormalbasen ausmachen und wie ich die beiden oben genannten Themen verbinden kann? Oder vielleicht eine Literaturempfehlung? Fischer und DeJong haben mir zwar geholfen zu sehen, wie man damit rechnet, aber eine präzise Intuition habe ich nicht gefunden.. Sorry.. bin da unsicher.. Danke!
30.07.2018, 14:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Quantenmechanik arbeitet man ständig mit komplexen Hilberträumen, in denen die Vektoren physikalische Zustände sind. Die Arbeit damit ist besonders bequem, weil jeder Hilbertraum eine endliche oder abzählbare ONB hat. In diesem Sinne haben alle Basisvektoren die Norm 1 und sind orthogonal zueinander. In der analytischen Geometrie hat Descartes mit solchen möglichst einfachen Basen (Koordinatensystemen) aus senkrecht zueinander stehenden Achsen begonnen, auf denen er die Einheiten ausgezeichnet hat. Leicht vorstellbar im üblichen Anschauungsraum der Geometrie, leicht zu benutzen in kompliziertesten eukidischen und unitären Räumen.
30.07.2018, 15:55	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das macht es auf jeden Fall schon mal anschaulicher.. Danke!
30.07.2018, 17:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wichtig in der Quantenphysik (Spektralsatz): Den Observablen eines Systems entsprechen selbstadjungierte lineare Operatoren. Die möglichen Messwerte sind die (reellen !) Eigenwerte des Operators. Zu jedem Operator gibt es eine ONB aus Eigenvektoren. Operatoren sind genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie kommutieren (siehe Unschärferelation) [ohne Gewähr, ich bin kein Physiker, nur interessierter Laie].
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