Vektoranalysis Nabla vs. Jakobian

31.07.2018, 23:37	mech0m	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoranalysis Nabla vs. Jakobian Gegen sei $\begin{eqnarray} \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \quad \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial \mathbf{f(\mathbf{x})}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix}<br /> \frac{\partial f_1 }{ \partial x_1 } & \frac{\partial f_1 }{ \partial x_2 } & \dots & \frac{\partial f_1 }{ \partial x_{n-1} } & \frac{\partial f_1 }{ \partial x_{n} } \\ <br /> \frac{\partial f_2 }{ \partial x_1 } & \frac{\partial f_2 }{ \partial x_2 } & \dots & \frac{\partial f_2 }{ \partial x_{n-1} } & \frac{\partial f_2 }{ \partial x_{n} } \\ <br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> \frac{\partial f_{m-1} }{ \partial x_1 } & \frac{\partial f_{m-1} }{ \partial x_2 } & \dots & \frac{\partial f_{m-1} }{ \partial x_{n-1} } & \frac{\partial f_{m-1}}{ \partial x_{n} } \\ <br /> \frac{\partial f_m }{ \partial x_1 } & \frac{\partial f_m }{ \partial x_2 } & \dots & \frac{\partial f_m }{ \partial x_{n-1} } & \frac{\partial f_m}{ \partial x_{n} } \\ <br /> \end{bmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Wenn jetzt eine Funktion $\begin{eqnarray} g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ betrachtet wird dannn müsste doch $\begin{eqnarray} \frac{\partial g(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix}<br /> \frac{\partial g }{ \partial x_1 } & \frac{\partial g }{ \partial x_2 } & \dots & \frac{\partial g }{ \partial x_{n-1} } & \frac{\partial g }{ \partial x_{n} } \\ <br /> \end{bmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ gelten. Hab jetzt aber schon häufiger geshen, dass $\begin{eqnarray} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \end{eqnarray}$ equivalent zu $\begin{eqnarray} \nabla_{\mathbf{x}} g(\mathbf{x}) \end{eqnarray}$ verwendet wird. Hab ich da einen Denkfehler oder ist das einfach falsch?
01.08.2018, 08:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja eigentlich ist der Gradient die transponierte Jacobimatrix. Das wird aber, wie du schon bemerkt hast, häufig nicht so genau genommen. Das Anwenden des Gradienten auf einen Vektor ist daher eigentlich das Bilden eines Skalarprodukts, während es bei der Jacobimatrix eine Matrizenmultiplikation ist.
01.08.2018, 16:30	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Die hier diskutierte Problematik entsteht nur, weil für die Vektorschreibweise die Notation $\begin{eqnarray} \vec a =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ ohne Angabe der Einheitsvektoren benutzt wird. Siehe zum Folgenden auch https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Tensoranalysis besonders Nomenklatur unter Berücksichtigung der Einsteinsche Summenkonvention sowie Nabla Operator, Gradient, Divergenz und Rotation. Ein Vektor wird unter Berücksichtigung der Richtungsvektoren geschrieben als $\begin{eqnarray} \vec a =\vec e_i \cdot x_i<br /> \end{eqnarray}$ (Tensor 1.Stufe) und eine Matrix $\begin{eqnarray} M =\vec e_i \otimes \vec e_j\cdot m_{ij}<br /> \end{eqnarray}$ (Tensor 2.Stufe) Mit diesen Angaben kann der NablaOperator geschrieben werden durch $\begin{eqnarray} \nabla =\vec e_i \frac{\partial }{\partial x_i} \end{eqnarray}$ Der Gradient ist dann $\begin{eqnarray} \nabla \otimes P= \vec e_i \frac{\partial }{\partial x_i} \otimes \vec e_j P_j = \vec e_i \otimes \vec e_j \frac{\partial }{\partial x_i} P_j \end{eqnarray}$ . Die letzte Gleichheit gilt nur, wenn die Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec e_j \end{eqnarray}$ nicht von $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ abhängen. Hierbei ist P ein Tensor beliebiger Stufe: 0. Stufe==Skalar, 1. Stufe == Vektor, 2. Stufe == Matrix usw. Damit erzeugt der Gradient aus einem Tensor n. Stufe einen Tensor (n+1). Stufe. Die Divergenz ergibt sich als Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \nabla \circ P = \vec e_i \frac{\partial }{\partial x_i} \circ\vec e_j P_j \end{eqnarray}$ und erzeugt einen Tenor (n-1). Stufe Die Rotation entsteht über das Kreuzprodukt (Anzahl der Komponenten des NablaOperators und des ersten Index von P müssen gleich 3 sein) $\begin{eqnarray} \nabla \times P= \vec e_i \frac{\partial }{\partial x_i} \times\vec e_j P_j \end{eqnarray}$ . Achtung alle $\begin{eqnarray} \vec e_j \end{eqnarray}$ müssen ebenfalls abgeleitet werden, z.B. bei Zylinderkoordinaten. Die Experten darf ich bitten, mir zu verzeihen, dass ich hier darauf verzichte auf kovariante und kontravariante Indizes einzugehen. https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Physik) https://de.wikipedia.org/wiki/Indexnotation_von_Tensoren
01.08.2018, 19:33	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoranalysis Nabla vs. Jakobian Abgeschrieben aus Walter, Analysis 2: Bei vielen Fragen der Analysis, etwa wenn es um die Stetigkeit einer Funktion $\begin{eqnarray} x\mapsto f(x) \end{eqnarray}$ geht, ist es sachlich ohne Bedeutung, ob man sich unter $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ (oder $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ) einen Zeilen- oder einen Spaltenvektor vorstellt. Sobald aber Matrizenprobleme auftreten, gilt die Vereinbarung von 1.1, die wir hier in erweiterter Form wiedergeben. Vereinbarung. Im Zusammenhang mit Matrizenprodukten wird die unabhängige Variable $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und ebenso der Funktionswert $\begin{eqnarray} f(x)\in\mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ immer als Spaltenvektor aufgefaßt, während der Gradient immer ein Zeilenvektor ist.

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