Diffeomorphismus: Kugelkoordinaten

01.08.2018, 20:49

Snexx_Math

Diffeomorphismus: Kugelkoordinaten

Hallo zusammen,

ich verstehe nicht, warum folgende Abbildung, die eine Transfomation über Kugelkoordinaten ist, surjektiv ist, damit man sagen kann , dass es ein Diffeomorphismus ist.

Sei $\begin{eqnarray*} T:]0,\infty [\times ]0,2\pi [\times ]0,\pi [ \rightarrow \mathbb R^3 \setminus \Bigg \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 | x\geq 0 , y\geq 0\Bigg \} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T(r,\varphi , \theta ) =\begin{pmatrix} r\cdot cos(\varphi )\cdot sin(\theta ) \\ r\cdot sin(\varphi )\cdot sin(\theta )\\ r\cdot cos(\theta ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich sehe ein, dass man wegen $\begin{eqnarray*} \varphi \in ]0,2\pi [ \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} \Bigg \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 | x\geq 0 \wedge y=0 \Bigg \} \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} cos(\varphi )\neq 1 \end{eqnarray*}$ , und die Menge $\begin{eqnarray*} \Bigg \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \ \ x=0 \wedge y\geq 0 \Bigg \} \end{eqnarray*}$ ,wegen $\begin{eqnarray*} sin(\varphi )\neq 0 \end{eqnarray*}$ , aus dem Wertebereich nehmen muss, damit die Abbildung T bijektiv sein kann. Aber warum nimmt man die komplette Ebene, die von der positiven X-Achse und der positiven Y-Achse aufgespannt wird, heraus ?

Kann mir bitte jemand erklären, gerne auch nochmal von ganz von vorne , warum man jetzt gerade diese Mengen rausnimmt ? Und nicht wie von mir gedacht die positve X-Achse isoliert und die positive Y-Achse isoliert ?

LG

Snexx_Math

03.08.2018, 17:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Sei $\begin{eqnarray*} T:]0,\infty [\times ]0,2\pi [\times ]0,\pi [ \rightarrow \mathbb R^3 \setminus \Bigg \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 | {\color{red}x\geq 0 , y\geq 0}\Bigg \} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T(r,\varphi , \theta ) =\begin{pmatrix} r\cdot cos(\varphi )\cdot sin(\theta ) \\ r\cdot sin(\varphi )\cdot sin(\theta )\\ r\cdot cos(\theta ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendetwas haut hier nicht hin: Warum schneidest du im T-Wertebereich "ein Viertel" des Raumes (bzgl. x,y den ganzen ersten Quadranten) weg? Das passt nicht. unglücklich

Bei dem von dir gewählten Definitionsbereich ist der tatsächliche Wertebereich von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \mid x\geq 0, y=0 \right\} \end{eqnarray*}$ , und mit dem ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auch bijektiv.

EDIT: Ah ja, ich hätte wohl erst alles lesen sollen, denn zu derselben Erkenntnis bist du ja auch selbst gekommen. Also gehen wir mal von einem Angabefehler oben aus, es muss also tatsächlich $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ heißen. Augenzwinkern

Oder aber es geht um

$\begin{eqnarray*} \tilde{T}:\; \left]0,\infty\right[ \times \left]{\color{red}\frac{\pi}{2}},2\pi\right[ \times \left]0,\pi\right[ \to \mathbb R^3 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \mid x\geq 0 , y\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$

mit derselben Abbildungsvorschrift, die wäre ebenfalls bijektiv.

03.08.2018, 23:03

Snexx_Math

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Ja alles klar smile

dies und auch die Nachfrage beim Prof. haben gezeigt, dass es sich um einen Anschreibefehler handelte.

Dementsprechend also:

$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$

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