DGL Matrix

01.08.2018, 21:28

mac33

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DGL Matrix

Hi alle zusammen

Habe das Fundamentalsystem genau wie in der Lösung aufgestellt ,aber komme jetzt nicht auf die Eigenwerte ?
Habe es mit laplace Entwicklungssatz probiert ,aber komme nicht auf richtige Werte ?

Kann man das auch irgendwie einfacher lösen?

01.08.2018, 23:00

Helferlein

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Nach welcher Zeile oder Spalte entwickelst Du denn?
Bei dieser Matrix würden sich die ersten beiden Zeilen oder die letzten beiden Spalten anbieten.

03.08.2018, 01:20

mac33

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Soweit richtig ?
Bevor ich komplett falsch weiter rechne?

03.08.2018, 01:31

Helferlein

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Fast richtig, der vorletzte Summand hat nicht $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ als Vorfaktor.
Davon abgesehen, ist dein Rechenweg aber zu kompliziert. Geschickter ist es, solche Zeilen oder Spalten zum Entwickeln auszuwählen, die viele Nullen enthalten.
Im zweiten Schritt ist die Entwicklung nach der ersten Zeile beispielsweise wesentlich effektiver.

03.08.2018, 01:35

mac33

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wieso ist es lambda^2 ?
Bitte um Erklärung?

03.08.2018, 01:38

Helferlein

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Weil eins schon vor der Determinante steht und Du in dem Schritt ein zweites rausholst. Also $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \lambda = \lambda^2 \end{eqnarray*}$

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03.08.2018, 01:45

mac33

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Ist die 10 dann nicht auch falsch?

03.08.2018, 02:04

mac33

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Als Polynom bekomme ich das raus:

-lambda^4 +10lambda

Kann das passen?

03.08.2018, 09:07

klarsoweit

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Dann wäre lambda = 0 ein Eigenwert, was man durch Einsetzen in die Matrix und Bilden der Determinante sehr schnell ausschließen kann. smile

smile

03.08.2018, 11:54

mac33

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-lambda^4 +10lambda = 0

lambda *(-lambda^3 +10) = 0

lambda1 = 0

-lambda^3+10 = 0

Polynomdivision:

-lambda^3+10 = 0

Man wie wende ich jetzt Polynomdivision an?

03.08.2018, 12:07

klarsoweit

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Irgendwie hast du wohl meinen vorigen Beitrag nicht ganz verstanden: lambda = 0 kann kein Eigenwert sein. Somit ist dein charakteristisches Polynom schlicht und ergreifend falsch.

03.08.2018, 16:57

mac33

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Die letzte Zeile nach dem Foto sieht so aus :

-lambda^2*(lambda^2)-10*(Lambada)

Wo liegt dann hier der Fehler ?
Ich verstehe es nicht

03.08.2018, 18:24

Helferlein

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Dann noch mal in Ruhe auf deinem längeren Weg:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & -\lambda & 1 \\ 10 & 4 & 0 \\ 9&10&-\lambda \end{vmatrix} = -(-\lambda) \begin{vmatrix} 10&0 \\ 9& -\lambda \end{vmatrix}+4 \cdot \begin{vmatrix} 0&1 \\ 9& -\lambda \end{vmatrix} -10 \cdot \begin{vmatrix} 0&1 \\ 10& 0 \end{vmatrix}=\lambda(-10\lambda)-36+100=-10\lambda^2+64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 9&10&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda \cdot \left((-\lambda) \begin{vmatrix}-\lambda&0 \\ 9&-\lambda \end{vmatrix} - 10 \cdot \begin{vmatrix}-\lambda&0 \\ 0&1 \end{vmatrix} \right)= \lambda(-\lambda^3+10\lambda) \end{eqnarray*}$

03.08.2018, 21:24

mac33

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Soll ich jetzt von den beiden Ergebnissen rechts die Eigenwerte berechnen oder wie?

03.08.2018, 21:33

Helferlein

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Wozu solltest Du das?
Schau Dir an, was Du in deinem zweiten Posting gerechnet hast und ich im letzten Posting. Da gibt es einen kaum zu übersehenden Zusammenhang.

03.08.2018, 22:28

mac33

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Zitat:

Original von Helferlein
Dann noch mal in Ruhe auf deinem längeren Weg:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & -\lambda & 1 \\ 10 & 4 & 0 \\ 9&10&-\lambda \end{vmatrix} = -(-\lambda) \begin{vmatrix} 10&0 \\ 9& -\lambda \end{vmatrix}+4 \cdot \begin{vmatrix} 0&1 \\ 9& -\lambda \end{vmatrix} -10 \cdot \begin{vmatrix} 0&1 \\ 10& 0 \end{vmatrix}=\lambda(-10\lambda)-36+100=-10\lambda^2+64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 9&10&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda \cdot \left((-\lambda) \begin{vmatrix}-\lambda&0 \\ 9&-\lambda \end{vmatrix} - 10 \cdot \begin{vmatrix}-\lambda&0 \\ 0&1 \end{vmatrix} \right)= \lambda(-\lambda^3+10\lambda) \end{eqnarray*}$

lambda*(-lambda^3+10lambda) =0

lambda^2 *(-lambda^2+10) =0

lambda1/2 = 0

lambda3/4 = +- sqrt(10)

eigenwerte ?

03.08.2018, 23:25

Helferlein

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Ehrlich gesagt bin ich ziemlich ratlos.
Du hast ernsthaft nicht erkannt, dass deine erste Rechnung oben gerade besagt, dass die gesuchte Determinente (also das charakteristische Polynom) die Summe der beiden Determinenten ist, die ich berechnet habe? Und meinen letzten Beitrag mit dem Hinweis, dass es sinnlos ist, die Einzelterme Null zu setzen, hast Du auch nicht lesen können? Ganz davon abgesehen hatte Dir klarsoweit auch schon gesagt, dass 0 kein Eigenwert der Gleichung sein kann.

Also, letzter Versuch: Berechne das charakteristische Polynom über die Summe der beiden Terme. Dann kannst Du auch die Eigenwerte berechnen.

05.08.2018, 13:43

mac33

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$\begin{eqnarray*} -10\lambda^2+64+\lambda *(-\lambda ^3+10\lambda ) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -10\lambda^2+64-\lambda ^4+10\lambda^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda ^4 = 64 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

05.08.2018, 17:51

Helferlein

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Es ist die Differenz, nicht die Summe. Fehler meinerseits, der Dir aber aufgefallen wäre, wenn Du den Rechenweg verstanden hättest.

05.08.2018, 17:56

mac33

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$\begin{eqnarray*} -10\lambda^2+64-\lambda *(-\lambda ^3+10\lambda ) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -20\lambda^2+64+\lambda ^4 = 0 \end{eqnarray*}$

So?

05.08.2018, 18:48

Helferlein

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richtig

05.08.2018, 18:57

mac33

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Aber wieso sollte man die Subtrahieren ?
Woran merkt man das ?

Hier die Eigenwerte zu berechnen ist ja nicht einfach.
Mann kann das lambda auch nicht ausklammern ?
Hast du noch einen kleinen Tipp?

05.08.2018, 19:10

Helferlein

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Wieso? Weil es sich aus der 1. Entwicklung gibt, was Du in deiner ersten Rechnung auch genau so gemacht hast. Wieso stellst Du das jetzt in Frage?

Du hast eine biquadratische Gleichung vorliegen. Setze $\begin{eqnarray*} t=\lambda^2 \end{eqnarray*}$ und löse die daraus entstehende quadratische Gleichung nach t auf, anschließend berechnest Du daraus $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

05.08.2018, 19:33

mac33

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Ich verstehe aber immer noch nicht warum ein minus vor dem lambda der 2 Gleichung stehen soll? verwirrt

verwirrt

05.08.2018, 20:04

mac33

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Wie soll ich das in die Zeilenstufenform bringen ?

Nicht gerade trivial hier?

05.08.2018, 22:37

Helferlein

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Wenn Du den Standardweg gehen willst, dann ja. Hier wäre es aber sinnvoller das Pferd von hinten aufzuzäumen, sprich das vierfache der ersten zur dritten zu addieren, sowie das vierfach der zweiten zur vierten.

05.08.2018, 22:42

mac33

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Gibt es auch einen anderen Weg ?
Vielleicht einfacher zu lösen?

05.08.2018, 23:44

Helferlein

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Es gibt viele Wege, aber ich denke ich habe den einfachsten beschrieben.

Wenn Dir das nicht reicht, sollte vielleicht ein anderer Helfer sein Glück versuchen.

06.08.2018, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von mac33
Gibt es auch einen anderen Weg ?
Vielleicht einfacher zu lösen?

Mein Vorschlag: dividiere in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 10 & 4 & -4 & 0 \\ 9 & 10 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die erste Zeile durch 4 und addiere dann geeignete Vielfache davon zur 3. bzw. 4. Zeile, so daß in den ersten Komponenten Nullen entstehen.

06.08.2018, 09:22

mac33

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Dividiert durch 4 erste Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/4& 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 10 & 4 & -4 & 0 \\ 9 & 10 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiß jetzt wieder nicht was ich weiter machen soll ?
Wirklich kompliziert

06.08.2018, 09:36

klarsoweit

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Ganz normal das Gauß-Verfahren: addiere das 10-fache der ersten Zeile zur 3. Zeile und das 9-fache der ersten Zeile zur 4. Zeile.

06.08.2018, 09:59

mac33

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/4& 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -3/2 & 0 \\ 0 & 10 & 9/4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sieht es so aus ?

Wie kann ich die 10 in der 4 Zeile noch irgendwie nullen ?

Oder soll ich es so lassen?

06.08.2018, 10:06

klarsoweit

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Natürlich müssen da noch Nullen hin. Und ehrlich gesagt wundere ich mich schon über deine Fragen. Wird sind hier im Hochschulbereich und das Gauß-Verfahren ist nun wirklich kein Hexenwerk. Da kann man schlicht nach Kochrezept vorgehen. OK, einen Hinweis noch: addiere das 2,5-fache der 2. Zeile zur 4. Zeile.

06.08.2018, 10:44

mac33

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/4& 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -3/2 & 0 \\ 0 & 0 & 9/4 & -1,5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beim LGS lösen soll ich einfach x1 als t wählen und dann lösen?

t1+9/4*x_3 -1,5x_4 = 0

hmmm irgendwie komme ich wieder nicht weiter Big Laugh

Big Laugh

06.08.2018, 10:58

klarsoweit

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Wenn du das Gauß-Verfahren nicht beherrschst (und danach sieht es für mich sehr arg aus), wirst du bei diesen Aufgaben keinen Blumentopf gewinnen. unglücklich

unglücklich

Wie man leicht sieht, ist die Matrix noch nicht in Zeilenstufenform. Als nächstes mußt du an der 2. Stelle in der 3. Zeile eine Null produzieren. (Bevor du da nachfragst, wie das geht: addiere die 2. Zeile zur 3. Zeile.)

06.08.2018, 12:32

mac33

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[quote]Original von mac33
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/4& 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0& -3/2 & 1 \\ 0 & 0 & 9/4 & -1,5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Paar Tipps zum LGS lösen ?

06.08.2018, 13:03

klarsoweit

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Da kann ich mich nur wiederholen: Gauß-Verfahren lernen. (Wofür hat man denn die graue Masse zwischen den Ohren?)

Jetzt mußt du noch in der letzten Zeile Nullen produzieren und dann bist du fast am Ziel. smile

smile

06.08.2018, 13:39

mac33

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/4& 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0& -3/2 & 1 \\ 0 & 0 & 0& 1,5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das wars oder ?

06.08.2018, 13:45

klarsoweit

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Ich weiß ja nicht, was du gerechnet hast, aber korrekt ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/4& 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0& -3/2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Merke: wenn bei der Eigenraum-Bestimmung keine Nullzeile entsteht, ist etwas faul in der Rechnung.

Jetzt kannst du aus dieser Matrix eine Basis des Kerns ablesen. Diese Basis ist dann auch eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 4.

06.08.2018, 13:56

mac33

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Wie hast du gerechnet um auf die Matrix zu kommen ?

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