DGL Matrix

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mac33 Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Matrix
Hi alle zusammen

Habe das Fundamentalsystem genau wie in der Lösung aufgestellt ,aber komme jetzt nicht auf die Eigenwerte ?
Habe es mit laplace Entwicklungssatz probiert ,aber komme nicht auf richtige Werte ?

Kann man das auch irgendwie einfacher lösen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nach welcher Zeile oder Spalte entwickelst Du denn?
Bei dieser Matrix würden sich die ersten beiden Zeilen oder die letzten beiden Spalten anbieten.
 
 
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit richtig ?
Bevor ich komplett falsch weiter rechne?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig, der vorletzte Summand hat nicht , sondern als Vorfaktor.
Davon abgesehen, ist dein Rechenweg aber zu kompliziert. Geschickter ist es, solche Zeilen oder Spalten zum Entwickeln auszuwählen, die viele Nullen enthalten.
Im zweiten Schritt ist die Entwicklung nach der ersten Zeile beispielsweise wesentlich effektiver.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

wieso ist es lambda^2 ?
Bitte um Erklärung?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Weil eins schon vor der Determinante steht und Du in dem Schritt ein zweites rausholst. Also
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die 10 dann nicht auch falsch?
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Als Polynom bekomme ich das raus:

-lambda^4 +10lambda


Kann das passen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre lambda = 0 ein Eigenwert, was man durch Einsetzen in die Matrix und Bilden der Determinante sehr schnell ausschließen kann. smile
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

-lambda^4 +10lambda = 0

lambda *(-lambda^3 +10) = 0

lambda1 = 0

-lambda^3+10 = 0

Polynomdivision:

-lambda^3+10 = 0

Man wie wende ich jetzt Polynomdivision an?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie hast du wohl meinen vorigen Beitrag nicht ganz verstanden: lambda = 0 kann kein Eigenwert sein. Somit ist dein charakteristisches Polynom schlicht und ergreifend falsch.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Zeile nach dem Foto sieht so aus :

-lambda^2*(lambda^2)-10*(Lambada)

Wo liegt dann hier der Fehler ?
Ich verstehe es nicht
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann noch mal in Ruhe auf deinem längeren Weg:



mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich jetzt von den beiden Ergebnissen rechts die Eigenwerte berechnen oder wie?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu solltest Du das?
Schau Dir an, was Du in deinem zweiten Posting gerechnet hast und ich im letzten Posting. Da gibt es einen kaum zu übersehenden Zusammenhang.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Dann noch mal in Ruhe auf deinem längeren Weg:





lambda*(-lambda^3+10lambda) =0

lambda^2 *(-lambda^2+10) =0


lambda1/2 = 0

lambda3/4 = +- sqrt(10)

eigenwerte ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt bin ich ziemlich ratlos.
Du hast ernsthaft nicht erkannt, dass deine erste Rechnung oben gerade besagt, dass die gesuchte Determinente (also das charakteristische Polynom) die Summe der beiden Determinenten ist, die ich berechnet habe? Und meinen letzten Beitrag mit dem Hinweis, dass es sinnlos ist, die Einzelterme Null zu setzen, hast Du auch nicht lesen können? Ganz davon abgesehen hatte Dir klarsoweit auch schon gesagt, dass 0 kein Eigenwert der Gleichung sein kann.

Also, letzter Versuch: Berechne das charakteristische Polynom über die Summe der beiden Terme. Dann kannst Du auch die Eigenwerte berechnen.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »







Ist das so richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist die Differenz, nicht die Summe. Fehler meinerseits, der Dir aber aufgefallen wäre, wenn Du den Rechenweg verstanden hättest.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »







So?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

richtig
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wieso sollte man die Subtrahieren ?
Woran merkt man das ?

Hier die Eigenwerte zu berechnen ist ja nicht einfach.
Mann kann das lambda auch nicht ausklammern ?
Hast du noch einen kleinen Tipp?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Weil es sich aus der 1. Entwicklung gibt, was Du in deiner ersten Rechnung auch genau so gemacht hast. Wieso stellst Du das jetzt in Frage?

Du hast eine biquadratische Gleichung vorliegen. Setze und löse die daraus entstehende quadratische Gleichung nach t auf, anschließend berechnest Du daraus .
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe aber immer noch nicht warum ein minus vor dem lambda der 2 Gleichung stehen soll? verwirrt
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich das in die Zeilenstufenform bringen ?

Nicht gerade trivial hier?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du den Standardweg gehen willst, dann ja. Hier wäre es aber sinnvoller das Pferd von hinten aufzuzäumen, sprich das vierfache der ersten zur dritten zu addieren, sowie das vierfach der zweiten zur vierten.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es auch einen anderen Weg ?
Vielleicht einfacher zu lösen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt viele Wege, aber ich denke ich habe den einfachsten beschrieben.

Wenn Dir das nicht reicht, sollte vielleicht ein anderer Helfer sein Glück versuchen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mac33
Gibt es auch einen anderen Weg ?
Vielleicht einfacher zu lösen?

Mein Vorschlag: dividiere in die erste Zeile durch 4 und addiere dann geeignete Vielfache davon zur 3. bzw. 4. Zeile, so daß in den ersten Komponenten Nullen entstehen.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Dividiert durch 4 erste Zeile




Weiß jetzt wieder nicht was ich weiter machen soll ?
Wirklich kompliziert
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz normal das Gauß-Verfahren: addiere das 10-fache der ersten Zeile zur 3. Zeile und das 9-fache der ersten Zeile zur 4. Zeile.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt sieht es so aus ?


Wie kann ich die 10 in der 4 Zeile noch irgendwie nullen ?

Oder soll ich es so lassen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich müssen da noch Nullen hin. Und ehrlich gesagt wundere ich mich schon über deine Fragen. Wird sind hier im Hochschulbereich und das Gauß-Verfahren ist nun wirklich kein Hexenwerk. Da kann man schlicht nach Kochrezept vorgehen. OK, einen Hinweis noch: addiere das 2,5-fache der 2. Zeile zur 4. Zeile.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »




Beim LGS lösen soll ich einfach x1 als t wählen und dann lösen?


t1+9/4*x_3 -1,5x_4 = 0

hmmm irgendwie komme ich wieder nicht weiter Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das Gauß-Verfahren nicht beherrschst (und danach sieht es für mich sehr arg aus), wirst du bei diesen Aufgaben keinen Blumentopf gewinnen. unglücklich

Wie man leicht sieht, ist die Matrix noch nicht in Zeilenstufenform. Als nächstes mußt du an der 2. Stelle in der 3. Zeile eine Null produzieren. (Bevor du da nachfragst, wie das geht: addiere die 2. Zeile zur 3. Zeile.)
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von mac33



Paar Tipps zum LGS lösen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann ich mich nur wiederholen: Gauß-Verfahren lernen. (Wofür hat man denn die graue Masse zwischen den Ohren?)

Jetzt mußt du noch in der letzten Zeile Nullen produzieren und dann bist du fast am Ziel. smile
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »




Das wars oder ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht, was du gerechnet hast, aber korrekt ist

Merke: wenn bei der Eigenraum-Bestimmung keine Nullzeile entsteht, ist etwas faul in der Rechnung.

Jetzt kannst du aus dieser Matrix eine Basis des Kerns ablesen. Diese Basis ist dann auch eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 4.
mac33 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du gerechnet um auf die Matrix zu kommen ?
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