Alle Untergruppen der SG s3

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GRiK Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Untergruppen der SG s3
Hallo,

ich arbeite gerade Fragen aus dem Buch "Prüfungstrainer Lineare Algebra - 500 Fragen und Antworten für Bachelor und Vordiplom" von Rolf Busam und Thomas Epp durch.

Beim 1. Thema (Gruppen, Ringe, Körper) bin ich auf eine Frage gestoßen, bei der ich die Lösung nicht nachvollziehen kann.

Die Frage lautet:
"Beschreiben Sie alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe S3."

Meine Antwort:
S3 sieht so aus:
1 2 3

Damit habe ich UG der Ordnung 2:
1 3 2
2 1 3
3 2 1

Und UG der Ordnung 3:
3 1 2
2 3 1


In der Musterlösung steht:
Zitat:
Die einzigen UG der Ordnung 2 in S3 sind die von den Transpositionen 4, 5, 6 erzeugten UG.

(Dies bezieht sich auf eine vorherige Frage; meine Lösung stimmt mit der Musterlösung überein. ist hier 2 3 1 )

Weiter:
Zitat:
Eine UG der Ordnung 3 ist mit gegeben. Mehr UG der Ordnung 3 kann es nicht geben, denn eine von verschiedene UG der Ordnung 3 müsste mind. eine der Permutationen 4, 5, 6 der Ordnung 2 enthalten, was aufgrund des Satzes von Lagrange nicht sein kann.

Der Satz von Lagrange ist mir nicht wirklich geläufig, ich habe ihn in unserem Skript auch nicht gefunden. Er wurde wohl mal in einem Tutorium kurz angeschnitten.
Ich verstehe diese Erklärung nicht. Was bedeutet das? Welche meiner Lösungsvorschläge stimmt denn? Stimmt gar keine?

Danke für die Hilfe!

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
S3 sieht so aus: 1 2 3

Nein, tut es nicht. Was soll 1 2 3 überhaupt sein.

Und auch deine Untergruppen sind nicht nachvollziehbar. Welche Notation für die Elemente der symmetrischen Gruppe soll das sein?


Zitat:
Der Satz von Lagrange ist mir nicht wirklich geläufig, ich habe ihn in unserem Skript auch nicht gefunden.

Das ist ein zentraler Satz der Theorie endlicher Gruppen. Wenn er nicht im Skript steht, was ich bezweifle, wäre es sehr sinnvoll den trotzdem anzuschauen.
GRiK Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage bezog sich auf eine vorherige Frage mit dem Beispiel der Verknüpfungstafel für S3, die laut Lösung aus den folgenden 6 Permutationen besetht:
123
123

123
231

123
312

123
132

123
321

123
213
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Also Matrixschreibweise.

Es gibt drei Untergruppen der Ordnung 2, das sind jeweils eine Transposition (Permutation der Ordnung 2) und die Identität.
Und eine der Ordnung 3 bestehend aus beiden Elementen der Ordnung 3 und der Identität.
Sowie die trivialen Untergruppen.
Lagrange sagt, dass Untergruppenmächtigkeit die Ordnung der Gruppe teilen muss. Also sind 1,2,3,6 die einzigen Möglichkeiten. Bleibt noch, dass das alle Untergruppen der entsprechenden Ordnungen sind.
GRiK Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sorry, ich verstehe es immer noch nicht.

Warum ist 6. eine Möglichkeit, 5 aber nicht?

Es hätte doch auch sein können, dass ich umgekehrt die Permutationen aufschreibe...
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Lagrange sagt, dass Untergruppenmächtigkeit die Ordnung der Gruppe teilen muss.

Irgendwelche Unklarheiten bei diesem Satz?

Zitat:
Es hätte doch auch sein können, dass ich umgekehrt die Permutationen aufschreibe...

Was willst du damit sagen? DU kannst schon Permutationen aufschreiben, aber dadurch werden diese nicht zu einer Untergruppe.
 
 
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