Abgeschlossene und beschränkte Menge nicht kompakt

04.08.2018, 14:25

Snexx_Math

Abgeschlossene und beschränkte Menge nicht kompakt

Hallo zusammen,

die folgende Menge soll abgeschlossen und beschränkt , aber nicht kompakt sein.

Sei $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , versehen mit der Metrik $\begin{eqnarray*} \delta (x,y) =min\{1, |x-y|\} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt.

Ich sehe ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ selbst immer offen und abgeschlossen ist, also insbesondere abgeschlossen. Zudem ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beschränkt, da $\begin{eqnarray*} diam (\mathbb R)=1 < \infty \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht kompakt, ich sehe es einfach nicht , wir hatten auch keinen Satz , der mir einfällt, wo man anhand der Metrik aussagen kann , ob eine Menge kompakt ist, was man hier aber bestimmt machen muss, warum sollte man sonst die Metrik so speziell wählen ? Big Laugh

LG

Snexx_Math

04.08.2018, 14:52

Guppi12

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Hallo,

versuch doch mal zu zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ keine konvergente Teilfolge haben kann.

Alternativ: Überdecke $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit Kugeln vom Radius $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ .

04.08.2018, 15:54

Snexx_Math

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Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,

versuch doch mal zu zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ keine konvergente Teilfolge haben kann.

Ja , das sieht man doch sofort oder ? Jede Teilfolge wäre immernoch eine streng monoton wachsende Teilfolge mit Grenzwert Unendlich.

Zitat:

Original von Guppi12
Alternativ: Überdecke $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit Kugeln vom Radius $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ .

Das klappt ja nicht, weil es unendlich viele Punkte gibt. Daher gibt es nicht endlich viele Indizes , die eine endliche offen Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bilden.

04.08.2018, 16:18

Guppi12

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Zitat:

Ja , das sieht man doch sofort oder ? Jede Teilfolge wäre immernoch eine streng monoton wachsende Teilfolge mit Grenzwert Unendlich.

Ich sehe da keinen Beweis dieser Tatsache, sondern nur den Versuch einer anschaulichen Beschreibung.
Das Problem ist, dass Anschaung oft versagt. Du musst das schon formal mit der Metrik zeigen.

Zitat:

Das klappt ja nicht, weil es unendlich viele Punkte gibt. Daher gibt es nicht endlich viele Indizes , die eine endliche offen Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bilden.

Keine Ahnung, was du damit meinst.

04.08.2018, 17:14

Snexx_Math

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Sry aber ich verstehe das gerade iwie nicht unglücklich

Bin nach 5h Mathe wieder an der Schwelle meiner Konzentration angekommen.

Könntest du mir ein wenig helfen ?

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