Stichprobenumfang gesucht

06.08.2018, 16:44

MMchen60

Stichprobenumfang gesucht

Hallo zusammen,
ich suche nach einer Lösungsmöglichkeit, wenn ein Stichprobenumfang gesucht wird, allerdings ohne einen Rechner, der Binomialverteilungen berechnen kann.
Die Frage stelle ich deshalb, als in BW ja der grafische Taschenrechner abgeschafft ist. Im Abitur 2018 war er ein letztes mal zugelassen. Dort findet sich z. B. folgende Fragestellung:

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

a) Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 100 Teile keinen Fehler haben.

OK, das ist $\begin{eqnarray*} B_{n;096}(X\geq 100)\geq 0,95 \end{eqnarray*}$ alternativ $\begin{eqnarray*} 1-B_{n;0,96}(X \leq 99)\geq 095 \end{eqnarray*}$

Mit einem TI84 ist das kein Problem, aber wie macht man das manuell? Oder geht das manuell garnicht?
Vielen Dank für prompte Antwort.

06.08.2018, 17:03

G060818

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RE: Stichprobenumfang gesucht
Manuell geht das nicht.
Du brauchst ein Tabellenwerk. Ohne techn. Hilfsmittel nicht lösbar.
Sollte so eine Aufgabe gestellt werden, würde ein Tabellenwerkauszug mitgeliefert.

06.08.2018, 17:11

HAL 9000

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Man kann mit der Normalverteilungsapproximation $\begin{eqnarray*} B(n,0.96)\approx \mathcal{N}(0.96n,0.0384n) \end{eqnarray*}$ ungefähr ausrechnen, wo das gesuchte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ liegt. Da wir uns aber bedenklich nahe am "Rand" der Verteilung befinden, wäre eine abschließende Kontrollrechnung mit der wirklichen Binomialverteilung anratsam. Für die benötigt man nicht notwendig eine Tabelle oder einen speziellen TR, es ist nur ein wenig mehr Tipparbeit mit einem gewöhnlichen TR.

06.08.2018, 19:48

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Man kann mit der Normalverteilungsapproximation $\begin{eqnarray*} B(n,0.96)\approx \mathcal{N}(0.96n,0.0384n) \end{eqnarray*}$ ungefähr ausrechnen, wo das gesuchte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ liegt.

Hallo HAL9000,
vielen Dank, das klingt ja gut, wenn ich n einmal habe, kann ich das mit der Binomialverteilung ja noch mal genauer prüfen, da weiß ich, wie das geht.
Was mir hier unklar ist, da ich so gut wie keine Erfahrung mit der Normalverteilungsapproximation habe:
Die 0,96n berechnet ja die 96 % des Stichprobenumfangs (etwa 2Sigma-Bereich), die 0,0384 ist wohl die Standardabweichung, so weit so gut.
Was muss ich nun aber in einen TR eintippen (z.B. dem Ti-30X-Plus) um n herauszukriegen?
LG Meinolf

06.08.2018, 21:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Was muss ich nun aber in einen TR eintippen (z.B. dem Ti-30X-Plus) um n herauszukriegen?

Vor dem Eintippen ist nachdenken und umformen angesagt: $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ hat bekanntlich Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(t) = P(X\leq t) = \Phi\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ , somit ist (unter Einbeziehung der Stetigke
itskorrektur) in deinem Fall

$\begin{eqnarray*} 0.95 \leq P(X\geq 100) = 1-P(X<100) \approx 1-\Phi\left( \frac{99.5-0.96n}{\sqrt{0.0384n}} \right) \end{eqnarray*}$ ,

es ist daher unter Einbeziehung der Standardnormalverteilungsquantile

$\begin{eqnarray*} \frac{99.5-0.96n}{\sqrt{0.0384n}} \approx z_{0.05} = -z_{0.95} \approx -1.645 \end{eqnarray*}$

Das ist de facto eine quadratische Gleichung für die Unbekannte $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Irgendwie Sch...e, dass man hier keine langen URLs unfallfrei posten kann. Ist immer mal wieder ein Ärgernis.

07.08.2018, 16:52

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \frac{99.5-0.96n}{\sqrt{0.0384n}} \approx z_{0.05} = -z_{0.95} \approx -1.645 \end{eqnarray*}$

Das ist de facto eine quadratische Gleichung für die Unbekannte $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ .

Hallo HAL9000,
vielen Dank für diese Erläuterungen, so langsam wird das etwas klarer, mir fehlt nur die Verbindung zur Auflösung von $\begin{eqnarray*} \frac{99.5-0.96n}{\sqrt{0.0384n}} \end{eqnarray*}$
Wie löst man denn das nach n auf?
Wenn ich rechne $\begin{eqnarray*} (99.5-0.96n)^2=(-1.645)^2\cdot 0.0384n \end{eqnarray*}$ bekomme ich bei der Auflösung immer eine negative Wurzel. Wenn ich die ignoriere und den Wert vor der Wurzel nehme, dann liege ich um 5 Einheiten uinter dem Wert der Binomialverteilung. Oder mache ich einen Riesenfehler?
Gruß
Meinolf

07.08.2018, 16:59

HAL 9000

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Wie ich bereits sagte, und nun nochmal wiederhole: Betrachtet man es als Gleichung für die Unbekannte $\begin{eqnarray*} t:=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ , so steht da

$\begin{eqnarray*} \frac{99.5-0.96t^2}{\sqrt{0.0384}t} = -z_{0.95} \end{eqnarray*}$ , umgestellt zu

$\begin{eqnarray*} 0.96t^2-z_{0.95}\sqrt{0.0384}\cdot t-99.5 = 0 \end{eqnarray*}$ ,

bei dieser Betrachtungsweise entfällt lästiges (und überdies nichtäquivalentes) Formelquadrieren. Diese Gleichung hat eine positive und eine negative Lösung $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , wobei uns offenkundig wegen $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{n}\geq 0 \end{eqnarray*}$ nur die positive interessiert. Rücksubstituiert ergibt sich dann das gesuchte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} n=t^2 \end{eqnarray*}$ .

08.08.2018, 15:08

MMchen60

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Hallo HAL9000
besten Dank, ja, jetzt komme ich auch auf n=107, wie der GTR.
Eine letzte Frage stellt sich mir aber noch: woher kommt den $\begin{eqnarray*} z_{0,95}=1,645 \end{eqnarray*}$ ?
Grüße
Meinolf

08.08.2018, 15:58

Steffen Bühler

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Zum Beispiel mit dieser Tabelle.

Viele Grüße
Steffen

08.08.2018, 18:06

MMchen60

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Hallo, danke, also doch Tabellenwerk. Ich habe diesen Thread ja eröffnet um festzustellen, ob man da auch ohne Tabellenwerk auskommt.
Allerdings ist mir momentan auch noch unklar, wieso man darauf kommt, dass der Bruch (dessen einzelne Glieder ich jetzt verstehe) ausgerechnet $\begin{eqnarray*} z_{0,05}=-z_{0,95} \end{eqnarray*}$ ist. Erst dann kann ich ja das Tabellenwerk zu Rate ziehen.
Viele Grüße
Meinolf

08.08.2018, 18:15

HAL 9000

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Bisschen spät, diese Frage...

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} 0.95 \leq P(X\geq 100) = 1-P(X<100) \approx 1-\Phi\left( \frac{99.5-0.96n}{\sqrt{0.0384n}} \right) \end{eqnarray*}$

Umgestellt bedeutet das $\begin{eqnarray*} 0.05 \geq \Phi\left( \frac{99.5-0.96n}{\sqrt{0.0384n}} \right) \end{eqnarray*}$ , und da die Quantilfunktion $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} = \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilungsfunktion ist, folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} z_{0.05} \geq \frac{99.5-0.96n}{\sqrt{0.0384n}} \end{eqnarray*}$ .

08.08.2018, 21:31

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von MMchen60
Hallo, danke, also doch Tabellenwerk.

Nicht unbedingt! Es gibt durchaus Taschenrechner, die die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung beherrschen. Schau mal in die Bedienungsanleitung von Deinem.

09.08.2018, 12:15

MMchen60

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Hallo alle zusammen,
vielen Dank für die letzten Meldungen, jetzt ist alles soweit klar.
Auch der Umstand, dass ich mit dem in BW abgeschaften GTR mit dem sogenannten WTR das machen kann, denn der hat tatsächlich eine App "invnorm".
Noch eine kleine persönliche Anmerkung meinerseits für alle Baden-Württemberger, die diesen Thread vielleicht irgendwann mal lesen:
Ich weiß wirkich nicht, was die Deppen im Stuttgarter Kultusministerium sich vor dreri Jahren gedacht haben, als sie beschlossen, den grafischen TR aus dem Schulbetrieb zu verbannen. Auf der einen Seite haben die im Jahre 2013 die Stochastik eingeführt, auf der anderen Seite schaffen sie Hilfsmittel ab, sodass 50 % der im Abitur bislang gestellten Aufgaben überhaupt nicht mehr gelöst werden können, zumal - und das ist das Interessante an diesem Thread - die Normalverteilung ja garnicht auf dem Lehrplan steht. Ich habe mit diesem Thread gezielt nach einer anderen Lösungsmöglichkeit gesucht, nachdem der alte Weg durch die Abschaffung des grafischen TR verloren ging und habe sie Dank euch, gefunden.
Viele Grüße und nochmals vielen Dank
Meinolf

19.08.2018, 20:02

MMchen60

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Hallo, sorry, dass ich mich hier nochmal zu diesem Thema melde. Es ist mir zwar rechnerisch alles klar, ich weiß aber nicht, welche Werte ich in die TR-App "invnorm" in diesem Fall eingeben muss.
Der Rechner möchte eine "area" zwischen 0 und 1 haben, außerdem ein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und beides habe ich ja nicht, oder bleibt mir wohl doch nur das Tabellenwerk?
Grüße Meinolf

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