Skalares Potential berechnen

Neue Frage »

MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential berechnen
Hey Leute,

gesucht ist ein Skalarpotential des Vektorfeldes mit und ein Gebiet, auf dem dieses existiert.

Mit der Kurvenintegralmethode oder der Ansatzmethode komme ich auf ein Skalarpotential . Das Gebiet, auf dem dieses existiert ist meiner Meinung nach .

Da ich aber so ein Potential nicht nur ausrechnen können, sondern auch alle Hintergründe verstehen will, wende ich mich wieder an euch:

Hinreichend für die Existenz eines Skalarpotentials sind ja die beiden Voraussetzungen, dass die Rotation des Vektorfeldes der Nullvektor ist und das betrachtete Gebiet einfach zusammenhängend ist. Da aber das Gebiet wegen nicht einfach zusammenhängend ist, es aber dennoch ein Skalarpotential gibt, scheinen die beiden Voraussetzungen zwar hinreichend, aber nicht notwendig zu sein, richtig?

Wie kann es denn aber sein, dass die Berechnung des Skalarpotentials mit der Kurvenintegralmethode, ausgehend vom Punkt zum Punkt durch

ohne Probleme verläuft? Auf dem Weg kommt es sowohl im Startpunkt, als auch im Punkt zu einem Definitionsproblem. Wieso klappt die Berechnung hier so reibungslos? Ist die Berechnung auf diese Weise überhaupt erlaubt? Meine Argumentation wäre gewesen: Ich rechne drauf los und zeigen am Ende durch eine Probe dass v das Gradientenfeld von f ist. Was ist eure Meinung? Hätte man es schlauer angehen können und sind meine Gedanken soweit richtig?


Ich habe eine Idee, bitte sagt mir, was ihr davon haltet:

Falls das Vektorfeld ein skalares Potential besitzt, ist der Wert eines jeden Kurvenintegrals unabhängig vom Weg, solange wir auf dem definierten Gebiet bleiben. Wenn der Weg jetzt so verläuft:



Und wir am Ende den gegen 0 streben lassen, ergibt sich das selbe Potential, nur wir haben das "gefährliche" Gebiet umgangen.

Dennoch denke ich, dass die Existenz eines Potentials erst nach der Rechnung bekannt sein kann, denn das Gebiet ist ja nicht einfach zusammenhängend. Stimmt das?


Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential berechnen
Zitat:
Original von MasterWizz
Mit der Kurvenintegralmethode oder der Ansatzmethode komme ich auf ein Skalarpotential . Das Gebiet, auf dem dieses existiert ist meiner Meinung nach .

Üblicherweise gehört das einfach zusammenhängende Gebiet mit zur Definition eines skalaren Potentials, siehe z. B

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarpote..._Eigenschaften.

Bei dieser Definition ist dein kein Potential auf dem gesamten Gebiet, sondern nur ein Potential auf den beiden Halbräumen und .

Zitat:
Wie kann es denn aber sein, dass die Berechnung des Skalarpotentials mit der Kurvenintegralmethode, ausgehend vom Punkt zum Punkt durchohne Probleme verläuft? Auf dem Weg kommt es sowohl im Startpunkt, als auch im Punkt zu einem Definitionsproblem. Wieso klappt die Berechnung hier so reibungslos? ?

Im ersten Teilintegral ist das Skalarprodukt von Vektorfeld und Tangentenvektor überall Null. Man sieht das, wenn man das Integral korrekt hinschreibt. Der einzelne nicht definierte Punkt spielt daher keine Rolle.

Das zweite Teilintegral funktioniert nur scheinbar, weil du vermutlich rein formal integrierst. Bei z. B und ist das zweite Teilintegral tatsächlich nicht existent. Man sieht das, wenn man das Integral für betrachtet. Es ist dann divergent.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential berechnen
Zitat:
Bei dieser Definition ist dein kein Potential auf dem gesamten Gebiet, sondern nur ein Potential auf den beiden Halbräumen und .

Die Idee gefällt mir! Das Vektorfeld besitzt also auf beiden Halbräumen die berechnete Stammfunktion, da jeweils die Bedingungen erfüllt sind. (Dass das einfach zusammenhängende Gebiet zur Definition selbst gehört, merke ich mir.)

Zitat:
Das zweite Teilintegral funktioniert nur scheinbar, weil du vermutlich rein formal integrierst. Bei z. B und ist das zweite Teilintegral tatsächlich nicht existent. Man sieht das, wenn man das Integral für betrachtet. Es ist dann divergent.

Kann ich als Begründung dafür, dass die rein formale Integration zum richtigen Ergebnis führt, angeben, dass das Kurvenintegral im konservativen Vektorfeld wegunabhängig ist und das vermeintliche Potential stetig sein muss (da ja differenzierbar)?

Ganz korrekt aufgeschrieben (und bitte korrigier mich, wenn das falsch ist!):


Edit: Sry für die schlechte Darstellung, daran kann ich leider nichts ändern.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential berechnen
Zitat:
Original von MasterWizz
Kann ich als Begründung dafür, dass die rein formale Integration zum richtigen Ergebnis führt, angeben, dass das Kurvenintegral im konservativen Vektorfeld wegunabhängig ist und das vermeintliche Potential stetig sein muss (da ja differenzierbar)?

Das Potential ist nur in den beiden Halbräumen stetig und differenzierbar. Auf der Ebene divergiert es. Man kann das Kurvenintegral separat für die beiden Halbräume betrachten. Dort führt es jeweils als Funktion von ) zu dem gleichen Ergebnis. Man hat nur einen anderen Definitionsbereich. Da es in den beiden Halbräumen jeweils ein Potential geben muss, ergibt das Kurvenintegral in dem jeweiligen Halbraum dann dieses Potential.

Ein Kurvenintegral, bei dem der eine Endpunkt in dem einen Halbraum liegt, der andere in dem anderen Halbraum, kann man nicht bilden. Es würde, wie schon gesagt, divergieren.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential berechnen
Danke, dann habe ich es verstanden smile

Du hast mir schon viel beigebracht Huggy, vielen Dank für deine wertvolle Zeit!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »