Poissonverteilung

07.08.2018, 11:35	Nydes	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung Meine Frage: Huhu, siehe Anhang fuer die Aufgabe. Ich verstehe nicht, warum ich ein anderes Ergebnis rausbekomme, wenn ich die Aufgabe andersrum loese. Meine Ideen: Die Chance das ein Student kommt, ist ja 0,91. Wenn ich also nicht danach gehe wieviele nicht kommen, sondern wieviele kommen bekomme ich fuer Lambda 0,91 * 8 = 7,28 raus. Wenn ich jetzt in die Formel die 7.28 statt der 0.72 einsetzte und 1 statt der 7 muesste dann nicht das Ergebnis das gleiche sein ? Wo ist mein Denkfehler ?
07.08.2018, 12:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Grunde genommen geht es hier um Binomial- statt Poissonverteilungen. Die hier in der vorgestellten Lösung verwendete Näherung $\begin{eqnarray} B(n,p)\approx \operatorname{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda:=np \end{eqnarray}$ ist nur zulässig für vergleichsweise kleine (!!!) $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . D.h., für $\begin{eqnarray} p=0.09 \end{eqnarray}$ ist das noch einigermaßen Ok, für $\begin{eqnarray} p=0.91 \end{eqnarray}$ aber keinesfalls. Man muss also schon wissen, was man bei solchen Approximationen tut statt sie blind (ohne Beachtung der Rahmenbedingungen) anzuwenden. EDIT: Ich korrigiere mich in einem Punkt - auch die Anwendung der Approximation im obigen Scan ist bereits nicht gerechtfertigt: Neben der Forderung "p klein" besteht nämlich auch noch die Bedingung, dass man nur $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\ll n \end{eqnarray}$ damit approximieren sollte. Im vorliegenden Fall ist $\begin{eqnarray} n=8 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=7 \end{eqnarray}$ , das kann man schwerlich als $\begin{eqnarray} \ll \end{eqnarray}$ auffassen... Rechnet man nämlich mal nach mit der tatsächlichen Binomialverteilung, so kommt man auf $\begin{eqnarray} P(X=7) = \binom{8}{7} \cdot 0.09^7\cdot 0.91^1 \approx 3.48\cdot 10^{-7} \end{eqnarray}$ , um den Faktor 27 (!!!) kleiner als das Ergebnis oben mit der Poissonverteilung... Ein Paradebeispiel für missbräuchliche Anwendung einer Approximation.

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