Lineares Gleichungssystem durch Optimierung lösen?

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Mathey Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem durch Optimierung lösen?
Meine Frage:
Kann man ein lineares Gleichungssystem ohne analytische Lösung mittels Optimierung "bestmöglich" lösen?

Meine Ideen:
Meine Idee wäre es, die Methode der kleinsten Fehlequadrate als Zielfunktion zu nutzen und diese zu Optimieren.
Dann hätte man das lineare Gleichungssystem in ein quadratisches Optimierungsproblem einer Zielfunktion mit mehreren Parametern überführt. Aber ist das überhaupt sinnvoll?

Bin auf eure Meinungen gespannt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man machen, es ist aber nicht sinnvoll. Eine Optimierung braucht eine Zielfunktion, die man sich aus den Fingern saugen muss. Eine Optimierung liefert auch nur eine "zufällige" Lösung, der Gauß-Algorithmus liefert die ganze Lösungsmenge als Nebenklasse eines Untervektorraums.
Warum sollte man mehr Aufwand für weniger Nutzen treiben?
Mathey Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem durch Optimierung lösen?
Hallo Elvis, ich freue mich über deine Antwort!

Bezüglich des Gauß-Algorithmus gebe ich dir natürlich recht. Aber problematisch wird es doch dann, wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat und man nur die "bestmögliche Lösung sucht". (Also die Lösung die am nächsten an die Lösung des Gleichungssystems rankommt).

Darüber hinaus ist doch soweit ich weiß lineare Optimierung immer konvex, sodass jedes lokale Minimum auch gleichzeitig globales Minimum ist. Dann wäre es ja egal, dass ich eine zufällige Lösung erhalte oder ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat, ist auch das Optimierproblem nicht lösbar.
2. Was nutzt die zufällige Lösung 273,372 für das Gleichungssystem x=x über den reellen Zahlen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mmh... mein TR hat unter anderem für "Faule" den Befehl LSG mit:

• Wenn A eine quadratische nichtsinguläre Matrix ist (d. h., sie verfügt
über A eine inverse Matrix oder ihre Determinante ist ungleich Null),
gibt LSQ die exakte Lösung des linearen Gleichungssystems zurück.

• Wenn A keinen vollen Zeilenrang aufweist (unterbestimmtes
Gleichungssystem), gibt LSQ aus einer unendlichen Anzahl von
Lösungen die Lösung mit der minimalen euklidischen Länge zurück.

• Wenn A keinen vollen Spaltenrang aufweist (überbestimmtes
Gleichungssystem), gibt LSQ die „Lösung“ mit dem minimalen
Residuum e = Ax – b zurück. Möglicherweise gibt es keine Lösung für
das Gleichungssystem. Daher ist der zurückgegebene Wert keine echte
Lösung des Gleichungssystems, sondern lediglich der Wert mit dem
kleinsten Residuum. smile
Mathey Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis, Hallo Dopap,

So ein Gleichungssystem "ohne Lösung" kann schnell entstehen, wenn es aus einem Realen Messvorgang stammt.
Stellt euch vor das Gleichungssystem wurde aufgestellt und sowohl A als auch b enthalten kleine Messfehler. Dann muss es ja dennoch eine Möglichkeit geben die Lösung zu finden, die am nächsten rankommt.

Darüber hinaus ist genau für solch einen Fall eine zufällige Lösung gegebenenfalls gut genug (Bsp: Ingenieur will ein System parametrieren).


Habe mich über eure Antworten sehr gefreut und habe nochmal schöne Denkanstöße dadurch bekommen.

Cheers Freude
 
 
Mathey Auf diesen Beitrag antworten »

Als kleinen Nachtrag für alle die das Thema interessiert:

Das Youtube Video "Least squares approximation | Linear Algebra | Khan Academy" erklärt das ganze sehr anschaulich und verständlich.

youtube.com/watch?v=MC7l96tW8V8
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es ging also von Anfang an NICHT um die Lösung des linearen Gleichungssystems , sondern um das Least-Square-Problem .

Bei regulärem ist das bekanntermaßen gleich der Lösung des (dann wirklich) linearen Gleichungssystems .

Du hast es von der Terminologie wohl nicht besser gewusst, aber so hätte man von Anfang an die Sache abkürzen können. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

oder hat doch einen Namen, aber welchen verwirrt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Transponierte Matrix, oder was meinst Du?

Viele Grüße
Steffen
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

einen Namen wie z.b. "Vandermonde". verwirrt
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