Minimum statt Sattelpunkt?

09.08.2018, 04:46

LoriFlori

Minimum statt Sattelpunkt?

Meine Frage:
Hallo Folks,

ich habe bei f(x)=cos(x)+cosh(x) berechnet, dass es an der Stelle 0 einen Sattelpunkt gibt. Nun sagte mir ein anderer Student, laut Wolfram Alpha habe die Funktion ein Minimum. Das verstehe ich nicht. Liegt das Programm falsch oder ich?Alle drei ersten Ableitungen sind Null, demnach müsste ein Sattelpunkt vorliegen. Ich bin verunsichert. Könnt ihr mir sagen, was hier falsch läuft?

Thx, Lori

Meine Ideen:
siehe oben

09.08.2018, 07:27

klarsoweit

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RE: Minimum statt Sattelpunkt?

Zitat:

Original von LoriFlori
Alle drei ersten Ableitungen sind Null, demnach müsste ein Sattelpunkt vorliegen.

Da liegst du falsch. Was du sagst, gilt auch für f(x)=x^4. Trotzdem hat die Funktion ein Minimum. smile

09.08.2018, 08:29

willyengland

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Es ist grundsätzlich immer sinnvoll, die Funktion mal zu plotten.
Dann sieht man sowas ja auch schon.

09.08.2018, 08:43

HAL 9000

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Das aus der Schulmathematik bekannte hinreichende Kriterium für Minimum/Maximum/Sattelpunkt kann folgendermaßen verallgemeinert werden:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mindestens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x)=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so gilt

a) Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade, so liegt bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Sattelpunkt vor.

b) Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade sowie $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ , so liegt bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein lokales Minimum vor.

c) Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade sowie $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ , so liegt bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein lokales Maximum vor.

Aber auch dieses Kriterium ist nur hinreichend: Zum einen wird ja diese Differenzierbarkeit gefordert (lokale Extrema kann man auch ohne solche Differenzierbarkeit betrachten), zum anderen gibt es Beispiele unendlich oft differenzierbarer Funktionen mit $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , wo alles mögliche an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ passieren kann: Minimum, Maximum oder Sattelpunkt.

09.08.2018, 17:26

Leopold

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$\begin{align*} f \end{align*}$ ist nichtkonstant und als Summe zweier gerader Funktion wieder gerade und muß daher bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ein lokales Extremum besitzen. Wenn man den Verlauf von $\begin{align*} \cos x \end{align*}$ und $\begin{align*} \cosh x \end{align*}$ ein bißchen genauer kennt, dann leuchtet ein, daß, wenn man sich von $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ etwas nach rechts bewegt, $\begin{align*} \cos x \end{align*}$ weniger abnimmt, als $\begin{align*} \cosh x \end{align*}$ zunimmt. Folglich muß das Extremum bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ein Minimum sein.

09.08.2018, 18:20

HAL 9000

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Bei Kenntnis der Taylorreihen dieser beiden Standardfunktionen $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cosh(x) \end{eqnarray*}$ sieht man auch schnell $\begin{eqnarray*} f(x) = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4k}}{(4k)!} \end{eqnarray*}$ , dieser Darstellung kann man sogar die strenge Monotonie für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ansehen, was zusammen mit der von Leopold erwähnten Geradheit der Funktion ergibt, dass bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sogar ein globales Minimum liegt.

09.08.2018, 19:45

Leopold

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Irgendwie erstaunlich, daß das Auf und Ab der Cosinusfunktion vollständig kompensiert und das Wachstum der Funktion nirgendwo auch nur vorübergehend gehemmt wird.

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Minimum statt Sattelpunkt?

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